Интеграл dx/(5-2*x) d{x}

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = 5 - 2 x$.

      Тогда пусть $du = - 2 dx$ и подставим $- \frac{du}{2}$:

      $\int \frac{1}{4 u}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- \frac{1}{2 u}\right)\, du = - \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

         Таким образом, результат будет: $- \frac{\log{\left(u \right)}}{2}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{\log{\left(5 - 2 x \right)}}{2}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $1 \cdot \frac{1}{5 - 2 x} = - \frac{1}{2 x - 5}$

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \left(- \frac{1}{2 x - 5}\right)\, dx = - \int \frac{1}{2 x - 5}\, dx$

      1. пусть $u = 2 x - 5$.

         Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

         $\int \frac{1}{4 u}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{1}{2 u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

            Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(u \right)}}{2}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{\log{\left(2 x - 5 \right)}}{2}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{\log{\left(2 x - 5 \right)}}{2}$

   Метод #3

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $1 \cdot \frac{1}{5 - 2 x} = - \frac{1}{2 x - 5}$

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \left(- \frac{1}{2 x - 5}\right)\, dx = - \int \frac{1}{2 x - 5}\, dx$

      1. пусть $u = 2 x - 5$.

         Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

         $\int \frac{1}{4 u}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{1}{2 u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

            Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(u \right)}}{2}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{\log{\left(2 x - 5 \right)}}{2}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{\log{\left(2 x - 5 \right)}}{2}$

2. Теперь упростить:

   $- \frac{\log{\left(5 - 2 x \right)}}{2}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{\log{\left(5 - 2 x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$- \frac{\log{\left(5 - 2 x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$