Господин Экзамен

Lang:

Другие калькуляторы

$Найти интеграл от y = f({x}) = (2^x+3^x)² dx ((2 в степени x плюс 3 в степени x) в квадрате) - с подробным решением [Есть ОТВЕТ!]$

Как пользоваться?
Интеграл d{x}:
Интеграл exp(-x^2)
Интеграл x/(exp(x))
Интеграл e^(acos(x))
Интеграл cos(x)^(n)
Идентичные выражения
(два ^x+ три ^x)^ два
(2 в степени x плюс 3 в степени x) в квадрате
(два в степени x плюс три в степени x) в степени два
(2x+3x)2
2x+3x2
(2^x+3^x)²
(2 в степени x+3 в степени x) в степени 2
2^x+3^x^2
(2^x+3^x)^2dx
Похожие выражения
(2^x-3^x)^2

Решение интегралов/ (2^x+3^x)^2

Интеграл (2^x+3^x)^2 d{x}

Решение

Вы ввели [src]

  1              
  /              
 |               
 |           2   
 |  / x    x\    
 |  \2  + 3 /  dx
 |               
/                
0

$$\int\limits_{0}^{1} \left(2^{x} + 3^{x}\right)^{2}\, dx$$

Упростить

Подробное решение

Есть несколько способов вычислить этот интеграл.
Метод #1
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\left(2^{x} + 3^{x}\right)^{2} = 2^{2 x} + 3^{2 x} + 2 \cdot 6^{x}$
2. Интегрируем почленно:
  1. пусть $u = 2 x$ .
    
    Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
    
    $\int \frac{2^{u}}{4}\, du$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{2^{u}}{2}\, du = \frac{\int 2^{u}\, du}{2}$
      
      Интеграл экспоненциальной функции равен ему же, деленному на натуральный логарифм основания.
      
      $\int 2^{u}\, du = \frac{2^{u}}{\log{\left(2 \right)}}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{2^{u}}{2 \log{\left(2 \right)}}$
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    
    $\frac{2^{2 x}}{2 \log{\left(2 \right)}}$
  1. пусть $u = 2 x$ .
    
    Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
    
    $\int \frac{3^{u}}{4}\, du$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{3^{u}}{2}\, du = \frac{\int 3^{u}\, du}{2}$
      
      Интеграл экспоненциальной функции равен ему же, деленному на натуральный логарифм основания.
      
      $\int 3^{u}\, du = \frac{3^{u}}{\log{\left(3 \right)}}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{3^{u}}{2 \log{\left(3 \right)}}$
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    
    $\frac{3^{2 x}}{2 \log{\left(3 \right)}}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int 2 \cdot 6^{x}\, dx = 2 \int 6^{x}\, dx$
    1. Интеграл экспоненциальной функции равен ему же, деленному на натуральный логарифм основания.
      
      $\int 6^{x}\, dx = \frac{6^{x}}{\log{\left(6 \right)}}$
    Таким образом, результат будет: $\frac{2 \cdot 6^{x}}{\log{\left(6 \right)}}$
  Результат есть: $\frac{2^{2 x}}{2 \log{\left(2 \right)}} + \frac{3^{2 x}}{2 \log{\left(3 \right)}} + \frac{2 \cdot 6^{x}}{\log{\left(6 \right)}}$
Метод #2
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\left(2^{x} + 3^{x}\right)^{2} = 2^{2 x} + 3^{2 x} + 2 \cdot 6^{x}$
2. Интегрируем почленно:
  1. пусть $u = 2 x$ .
    
    Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
    
    $\int \frac{2^{u}}{4}\, du$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{2^{u}}{2}\, du = \frac{\int 2^{u}\, du}{2}$
      
      Интеграл экспоненциальной функции равен ему же, деленному на натуральный логарифм основания.
      
      $\int 2^{u}\, du = \frac{2^{u}}{\log{\left(2 \right)}}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{2^{u}}{2 \log{\left(2 \right)}}$
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    
    $\frac{2^{2 x}}{2 \log{\left(2 \right)}}$
  1. пусть $u = 2 x$ .
    
    Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
    
    $\int \frac{3^{u}}{4}\, du$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{3^{u}}{2}\, du = \frac{\int 3^{u}\, du}{2}$
      
      Интеграл экспоненциальной функции равен ему же, деленному на натуральный логарифм основания.
      
      $\int 3^{u}\, du = \frac{3^{u}}{\log{\left(3 \right)}}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{3^{u}}{2 \log{\left(3 \right)}}$
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    
    $\frac{3^{2 x}}{2 \log{\left(3 \right)}}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int 2 \cdot 6^{x}\, dx = 2 \int 6^{x}\, dx$
    1. Интеграл экспоненциальной функции равен ему же, деленному на натуральный логарифм основания.
      
      $\int 6^{x}\, dx = \frac{6^{x}}{\log{\left(6 \right)}}$
    Таким образом, результат будет: $\frac{2 \cdot 6^{x}}{\log{\left(6 \right)}}$
  Результат есть: $\frac{2^{2 x}}{2 \log{\left(2 \right)}} + \frac{3^{2 x}}{2 \log{\left(3 \right)}} + \frac{2 \cdot 6^{x}}{\log{\left(6 \right)}}$
Теперь упростить:

$\frac{4^{x} \log{\left(6^{\log{\left(3 \right)}} \right)} + 6^{x} \log{\left(3^{\log{\left(16 \right)}} \right)} + 9^{x} \log{\left(6^{\log{\left(2 \right)}} \right)}}{2 \log{\left(2 \right)} \log{\left(3 \right)} \log{\left(6 \right)}}$
Добавляем постоянную интегрирования:

$\frac{4^{x} \log{\left(6^{\log{\left(3 \right)}} \right)} + 6^{x} \log{\left(3^{\log{\left(16 \right)}} \right)} + 9^{x} \log{\left(6^{\log{\left(2 \right)}} \right)}}{2 \log{\left(2 \right)} \log{\left(3 \right)} \log{\left(6 \right)}}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{4^{x} \log{\left(6^{\log{\left(3 \right)}} \right)} + 6^{x} \log{\left(3^{\log{\left(16 \right)}} \right)} + 9^{x} \log{\left(6^{\log{\left(2 \right)}} \right)}}{2 \log{\left(2 \right)} \log{\left(3 \right)} \log{\left(6 \right)}}+ \mathrm{constant}$

Ответ (Неопределённый) [src]

  /                                                
 |                                                 
 |          2             2*x        2*x         x 
 | / x    x\             2          3         2*6  
 | \2  + 3 /  dx = C + -------- + -------- + ------
 |                     2*log(2)   2*log(3)   log(6)
/

$${{2\,e^{\log 3\,x+\log 2\,x}}\over{\log 3+\log 2}}+{{2^{2\,x-1} }\over{\log 2}}+{{3^{2\,x}}\over{2\,\log 3}}$$

Упростить

График

Построить график f(x)

Ответ [src]

                  2                                     2                                                      
             3*log (3)                             8*log (2)                          31*log(2)*log(3)         
----------------------------------- + ----------------------------------- + -----------------------------------
     2                  2                  2                  2                  2                  2          
2*log (2)*log(3) + 2*log (3)*log(2)   2*log (2)*log(3) + 2*log (3)*log(2)   2*log (2)*log(3) + 2*log (3)*log(2)

$${{4\,\left(\log 3\right)^2+37\,\log 2\,\log 3+9\,\left(\log 2 \right)^2}\over{2\,\log 2\,\left(\log 3\right)^2+2\,\left(\log 2 \right)^2\,\log 3}}-{{\left(\log 3\right)^2+6\,\log 2\,\log 3+\left( \log 2\right)^2}\over{2\,\log 2\,\left(\log 3\right)^2+2\,\left( \log 2\right)^2\,\log 3}}$$

                  2                                     2                                                      
             3*log (3)                             8*log (2)                          31*log(2)*log(3)         
----------------------------------- + ----------------------------------- + -----------------------------------
     2                  2                  2                  2                  2                  2          
2*log (2)*log(3) + 2*log (3)*log(2)   2*log (2)*log(3) + 2*log (3)*log(2)   2*log (2)*log(3) + 2*log (3)*log(2)

$$\frac{3 \log{\left(3 \right)}^{2}}{2 \log{\left(2 \right)}^{2} \log{\left(3 \right)} + 2 \log{\left(2 \right)} \log{\left(3 \right)}^{2}} + \frac{8 \log{\left(2 \right)}^{2}}{2 \log{\left(2 \right)}^{2} \log{\left(3 \right)} + 2 \log{\left(2 \right)} \log{\left(3 \right)}^{2}} + \frac{31 \log{\left(2 \right)} \log{\left(3 \right)}}{2 \log{\left(2 \right)}^{2} \log{\left(3 \right)} + 2 \log{\left(2 \right)} \log{\left(3 \right)}^{2}}$$

Упростить

Численный ответ [src]

11.3861057333533

11.3861057333533

График

$Интеграл (2^x+3^x)^2 d{x}$

Данные примеры также можно применять при вводе верхнего и нижнего предела интегрирования.

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Интеграл (2^x+3^x)^2 d{x}

Пределы интегрирования:

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Метод #1

Метод #2