Интеграл 2^(1-x) d{x}

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = 1 - x$.

      Тогда пусть $du = - dx$ и подставим $- du$:

      $\int 2^{u}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- 2^{u}\right)\, du = - \int 2^{u}\, du$

         1. Интеграл экспоненциальной функции равен ему же, деленному на натуральный логарифм основания.

            $\int 2^{u}\, du = \frac{2^{u}}{\log{\left(2 \right)}}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{2^{u}}{\log{\left(2 \right)}}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{2^{1 - x}}{\log{\left(2 \right)}}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $2^{1 - x} = 2 \cdot 2^{- x}$

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 2 \cdot 2^{- x}\, dx = 2 \int 2^{- x}\, dx$

      1. пусть $u = - x$.

         Тогда пусть $du = - dx$ и подставим $- du$:

         $\int 2^{u}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \left(- 2^{u}\right)\, du = - \int 2^{u}\, du$

            1. Интеграл экспоненциальной функции равен ему же, деленному на натуральный логарифм основания.

               $\int 2^{u}\, du = \frac{2^{u}}{\log{\left(2 \right)}}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{2^{u}}{\log{\left(2 \right)}}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{2^{- x}}{\log{\left(2 \right)}}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{2 \cdot 2^{- x}}{\log{\left(2 \right)}}$

   Метод #3

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $2^{1 - x} = 2 \cdot 2^{- x}$

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 2 \cdot 2^{- x}\, dx = 2 \int 2^{- x}\, dx$

      1. пусть $u = - x$.

         Тогда пусть $du = - dx$ и подставим $- du$:

         $\int 2^{u}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \left(- 2^{u}\right)\, du = - \int 2^{u}\, du$

            1. Интеграл экспоненциальной функции равен ему же, деленному на натуральный логарифм основания.

               $\int 2^{u}\, du = \frac{2^{u}}{\log{\left(2 \right)}}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{2^{u}}{\log{\left(2 \right)}}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{2^{- x}}{\log{\left(2 \right)}}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{2 \cdot 2^{- x}}{\log{\left(2 \right)}}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{2^{1 - x}}{\log{\left(2 \right)}}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$- \frac{2^{1 - x}}{\log{\left(2 \right)}}+ \mathrm{constant}$