Интеграл 2*y*sin(y^2) d{x}

1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int 2 y \sin{\left(y^{2} \right)}\, dy = 2 \int y \sin{\left(y^{2} \right)}\, dy$

   1. пусть $u = y^{2}$.

      Тогда пусть $du = 2 y dy$ и подставим $\frac{du}{2}$:

      $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{4}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2}$

         1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

            $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{\cos{\left(y^{2} \right)}}{2}$

   Таким образом, результат будет: $- \cos{\left(y^{2} \right)}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \cos{\left(y^{2} \right)}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$- \cos{\left(y^{2} \right)}+ \mathrm{constant}$