Интеграл (2*x+1)/(x+1) d{x}

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = 2 x$.

      Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $du$:

      $\int \frac{u + 1}{u + 2}\, du$

      1. пусть $u = u + 2$.

         Тогда пусть $du = du$ и подставим $du$:

         $\int \frac{u - 1}{u}\, du$

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\frac{u - 1}{u} = 1 - \frac{1}{u}$

         2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int 1\, du = u$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \left(- \frac{1}{u}\right)\, du = - \int \frac{1}{u}\, du$

               1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

               Таким образом, результат будет: $- \log{\left(u \right)}$

            Результат есть: $u - \log{\left(u \right)}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $u - \log{\left(u + 2 \right)} + 2$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $2 x - \log{\left(2 x + 2 \right)} + 2$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{2 x + 1}{x + 1} = 2 - \frac{1}{x + 1}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 2\, dx = 2 x$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- \frac{1}{x + 1}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x + 1}\, dx$

         1. пусть $u = x + 1$.

            Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\log{\left(x + 1 \right)}$

         Таким образом, результат будет: $- \log{\left(x + 1 \right)}$

      Результат есть: $2 x - \log{\left(x + 1 \right)}$

   Метод #3

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{2 x + 1}{x + 1} = \frac{2 x}{x + 1} + \frac{1}{x + 1}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{2 x}{x + 1}\, dx = 2 \int \frac{x}{x + 1}\, dx$

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\frac{x}{x + 1} = 1 - \frac{1}{x + 1}$

         2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int 1\, dx = x$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \left(- \frac{1}{x + 1}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x + 1}\, dx$

               1. пусть $u = x + 1$.

                  Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\log{\left(x + 1 \right)}$

               Таким образом, результат будет: $- \log{\left(x + 1 \right)}$

            Результат есть: $x - \log{\left(x + 1 \right)}$

         Таким образом, результат будет: $2 x - 2 \log{\left(x + 1 \right)}$

      1. пусть $u = x + 1$.

         Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\log{\left(x + 1 \right)}$

      Результат есть: $2 x - 2 \log{\left(x + 1 \right)} + \log{\left(x + 1 \right)}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $2 x - \log{\left(2 x + 2 \right)} + 2+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$2 x - \log{\left(2 x + 2 \right)} + 2+ \mathrm{constant}$