Господин Экзамен

Lang:

Другие калькуляторы

Как пользоваться?
Интеграл d{x}:
Интеграл 1/sqrt(4-x^2)
Интеграл (cos(2*x))^4
Интеграл 1/(1+cos(x)^(2))
Интеграл cos(x)^2*sin(x)^4
График функции y =:
(2*x+1)/(3*x+4)
Идентичные выражения
(два *x+ один)/(три *x+ четыре)
(2 умножить на x плюс 1) делить на (3 умножить на x плюс 4)
(два умножить на x плюс один) делить на (три умножить на x плюс четыре)
(2x+1)/(3x+4)
2x+1/3x+4
(2*x+1) разделить на (3*x+4)
(2*x+1)/(3*x+4)dx
Похожие выражения
(2*x-1)/(3*x+4)
(2*x+1)/(3*x-4)

Решение интегралов/ (2*x+1)/(3*x+4)

Интеграл (2x+1)/(3x+4) d{x}

Решение

Вы ввели [src]

  1           
  /           
 |            
 |  2*x + 1   
 |  ------- dx
 |  3*x + 4   
 |            
/             
0

$$\int\limits_{0}^{1} \frac{2 x + 1}{3 x + 4}\, dx$$

Упростить

Подробное решение

Есть несколько способов вычислить этот интеграл.
Метод #1
1. пусть $u = 2 x$ .
  
  Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $du$ :
  
  $\int \frac{u + 1}{3 u + 8}\, du$
  1. Перепишите подынтегральное выражение:
    
    $\frac{u + 1}{3 u + 8} = \frac{1}{3} - \frac{5}{3 \cdot \left(3 u + 8\right)}$
  2. Интегрируем почленно:
    1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int \frac{1}{3}\, du = \frac{u}{3}$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \frac{5}{3 \cdot \left(3 u + 8\right)}\right)\, du = - \frac{5 \int \frac{1}{3 u + 8}\, du}{3}$
      
      пусть $u = 3 u + 8$ .
      
      Тогда пусть $du = 3 du$ и подставим $\frac{du}{3}$ :
      
      $\int \frac{1}{9 u}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{1}{3 u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{3}$
      
      Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$ .
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(u \right)}}{3}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\log{\left(3 u + 8 \right)}}{3}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{5 \log{\left(3 u + 8 \right)}}{9}$
    Результат есть: $\frac{u}{3} - \frac{5 \log{\left(3 u + 8 \right)}}{9}$
  Если сейчас заменить $u$ ещё в:
  
  $\frac{2 x}{3} - \frac{5 \log{\left(6 x + 8 \right)}}{9}$
Метод #2
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\frac{2 x + 1}{3 x + 4} = \frac{2}{3} - \frac{5}{3 \cdot \left(3 x + 4\right)}$
2. Интегрируем почленно:
  1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
    
    $\int \frac{2}{3}\, dx = \frac{2 x}{3}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \left(- \frac{5}{3 \cdot \left(3 x + 4\right)}\right)\, dx = - \frac{5 \int \frac{1}{3 x + 4}\, dx}{3}$
    1. пусть $u = 3 x + 4$ .
      
      Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$ :
      
      $\int \frac{1}{9 u}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{1}{3 u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{3}$
      
      Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$ .
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(u \right)}}{3}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\log{\left(3 x + 4 \right)}}{3}$
    Таким образом, результат будет: $- \frac{5 \log{\left(3 x + 4 \right)}}{9}$
  Результат есть: $\frac{2 x}{3} - \frac{5 \log{\left(3 x + 4 \right)}}{9}$
Метод #3
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\frac{2 x + 1}{3 x + 4} = \frac{2 x}{3 x + 4} + \frac{1}{3 x + 4}$
2. Интегрируем почленно:
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \frac{2 x}{3 x + 4}\, dx = 2 \int \frac{x}{3 x + 4}\, dx$
    1. Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\frac{x}{3 x + 4} = \frac{1}{3} - \frac{4}{3 \cdot \left(3 x + 4\right)}$
    2. Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int \frac{1}{3}\, dx = \frac{x}{3}$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \frac{4}{3 \cdot \left(3 x + 4\right)}\right)\, dx = - \frac{4 \int \frac{1}{3 x + 4}\, dx}{3}$
      
      пусть $u = 3 x + 4$ .
      
      Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$ :
      
      $\int \frac{1}{9 u}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{1}{3 u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{3}$
      
      Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$ .
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(u \right)}}{3}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\log{\left(3 x + 4 \right)}}{3}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{4 \log{\left(3 x + 4 \right)}}{9}$
      
      Результат есть: $\frac{x}{3} - \frac{4 \log{\left(3 x + 4 \right)}}{9}$
    Таким образом, результат будет: $\frac{2 x}{3} - \frac{8 \log{\left(3 x + 4 \right)}}{9}$
  1. пусть $u = 3 x + 4$ .
    
    Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$ :
    
    $\int \frac{1}{9 u}\, du$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{1}{3 u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{3}$
      
      Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$ .
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(u \right)}}{3}$
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    
    $\frac{\log{\left(3 x + 4 \right)}}{3}$
  Результат есть: $\frac{2 x}{3} + \frac{\log{\left(3 x + 4 \right)}}{3} - \frac{8 \log{\left(3 x + 4 \right)}}{9}$
Добавляем постоянную интегрирования:

$\frac{2 x}{3} - \frac{5 \log{\left(6 x + 8 \right)}}{9}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{2 x}{3} - \frac{5 \log{\left(6 x + 8 \right)}}{9}+ \mathrm{constant}$

Ответ (Неопределённый) [src]

  /                                     
 |                                      
 | 2*x + 1          5*log(8 + 6*x)   2*x
 | ------- dx = C - -------------- + ---
 | 3*x + 4                9           3 
 |                                      
/

$${{2\,x}\over{3}}-{{5\,\log \left(3\,x+4\right)}\over{9}}$$

Упростить

График

Построить график f(x)

Ответ [src]

2   5*log(7)   5*log(4)
- - -------- + --------
3      9          9

$${{5\,\log 4}\over{9}}-{{5\,\log 7-6}\over{9}}$$

2   5*log(7)   5*log(4)
- - -------- + --------
3      9          9

$$- \frac{5 \log{\left(7 \right)}}{9} + \frac{2}{3} + \frac{5 \log{\left(4 \right)}}{9}$$

Упростить

Численный ответ [src]

0.355769006702543

0.355769006702543

График

Данные примеры также можно применять при вводе верхнего и нижнего предела интегрирования.

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Интеграл (2x+1)/(3x+4) d{x}

Пределы интегрирования:

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Метод #1

Метод #2

Метод #3

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Интеграл (2*x+1)/(3*x+4) d{x}

Пределы интегрирования:

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Метод #1

Метод #2

Метод #3

Интеграл (2x+1)/(3x+4) d{x}