Интеграл 2*log(2*x) d{x}

1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int 2 \log{\left(2 x \right)}\, dx = 2 \int \log{\left(2 x \right)}\, dx$

   1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. пусть $u = 2 x$.

         Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

         $\int \frac{\log{\left(u \right)}}{4}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{\log{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \log{\left(u \right)}\, du}{2}$

            1. Используем интегрирование по частям:

               $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

               пусть $u{\left(u \right)} = \log{\left(u \right)}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = 1$.

               Затем $\operatorname{du}{\left(u \right)} = \frac{1}{u}$.

               Чтобы найти $v{\left(u \right)}$:

               1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                  $\int 1\, du = u$

               Теперь решаем под-интеграл.

            2. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int 1\, du = u$

            Таким образом, результат будет: $\frac{u \log{\left(u \right)}}{2} - \frac{u}{2}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $x \log{\left(2 x \right)} - x$

      Метод #2

      1. Используем интегрирование по частям:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         пусть $u{\left(x \right)} = \log{\left(2 x \right)}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1$.

         Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}$.

         Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int 1\, dx = x$

         Теперь решаем под-интеграл.

      2. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 1\, dx = x$

   Таким образом, результат будет: $2 x \log{\left(2 x \right)} - 2 x$

2. Теперь упростить:

   $2 x \left(\log{\left(2 x \right)} - 1\right)$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $2 x \left(\log{\left(2 x \right)} - 1\right)+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$2 x \left(\log{\left(2 x \right)} - 1\right)+ \mathrm{constant}$