Интеграл (2-9*x)^6 d{x}

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = 2 - 9 x$.

      Тогда пусть $du = - 9 dx$ и подставим $- \frac{du}{9}$:

      $\int \frac{u^{6}}{81}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- \frac{u^{6}}{9}\right)\, du = - \frac{\int u^{6}\, du}{9}$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{7}}{63}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{\left(2 - 9 x\right)^{7}}{63}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(2 - 9 x\right)^{6} = 531441 x^{6} - 708588 x^{5} + 393660 x^{4} - 116640 x^{3} + 19440 x^{2} - 1728 x + 64$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 531441 x^{6}\, dx = 531441 \int x^{6}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{531441 x^{7}}{7}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- 708588 x^{5}\right)\, dx = - 708588 \int x^{5}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Таким образом, результат будет: $- 118098 x^{6}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 393660 x^{4}\, dx = 393660 \int x^{4}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Таким образом, результат будет: $78732 x^{5}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- 116640 x^{3}\right)\, dx = - 116640 \int x^{3}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Таким образом, результат будет: $- 29160 x^{4}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 19440 x^{2}\, dx = 19440 \int x^{2}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Таким образом, результат будет: $6480 x^{3}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- 1728 x\right)\, dx = - 1728 \int x\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $- 864 x^{2}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 64\, dx = 64 x$

      Результат есть: $\frac{531441 x^{7}}{7} - 118098 x^{6} + 78732 x^{5} - 29160 x^{4} + 6480 x^{3} - 864 x^{2} + 64 x$

2. Теперь упростить:

   $\frac{\left(9 x - 2\right)^{7}}{63}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{\left(9 x - 2\right)^{7}}{63}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{\left(9 x - 2\right)^{7}}{63}+ \mathrm{constant}$