Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- Несобственный интеграл
- Двойной интеграл
- Тройной интеграл
- Криволинейный интеграл
- Производная по шагам
- Дифференциальные уравнения по шагам
- Пределы по шагам
-
Как пользоваться?
- Интеграл d{x}:
-
Интеграл 3*e^4-x
-
Интеграл 4*cos(2*x)
-
Интеграл (tan(x)^3)
- Интеграл dt/sin(t)
-
Идентичные выражения
- dt/sin(t)
- dt делить на синус от (t)
- dt/sint
- dt разделить на sin(t)
Интеграл dt/sin(t) d{x}
Решение
Вы ввели
[src]
1 / | | 1 | 1*------ dt | sin(t) | / 0
$$\int\limits_{0}^{1} 1 \cdot \frac{1}{\sin{\left(t \right)}}\, dt$$
Подробное решение
Дан интеграл:
/ | | 1 | 1*1*------ dt | sin(t) | /
Подинтегральная функция
1 1*------ sin(t)
Домножим числитель и знаменатель на
sin(t)
получим
1 1*sin(1*t)
1*------ = ----------
sin(t) 2
sin (1*t) Т.к.
sin(a)^2 + cos(a)^2 = 1
то
2 2 sin (t) = 1 - cos (t)
преобразуем знаменатель
1*sin(1*t) 1*sin(1*t) ---------- = ------------- 2 2 sin (1*t) 1 - cos (1*t)
сделаем замену
u = cos(t)
тогда интеграл
/ | | 1*sin(1*t) | ------------- dt | 2 = | 1 - cos (1*t) | /
/ | | 1*sin(1*t) | ------------- dt | 2 = | 1 - cos (1*t) | /
Т.к. du = -dt*sin(t)
/ | | 1*sin(1*t) | ------------- du | 2 | 1 - cos (1*t) | /
Перепишем подинтегральную функцию
1*sin(1*t) 1*-1 / 1 1 \
------------- = ----*|----- + -----|
2 2 \1 - u 1 + u/
1 - cos (1*t) тогда
/ /
| |
| 1 | 1
| ----- du | ----- du
/ | 1 + u | 1 - u
| | |
| 1*sin(1*t) / / =
| ------------- du = - ----------- - -----------
| 2 2 2
| 1 - cos (1*t)
|
/
= u*sin(t)/(1 - cos(t)^2)
делаем обратную замену
u = cos(t)
Ответ
/ | | 1 log(-1 + cos(t)) log(1 + cos(t)) | 1*1*------ dt = ---------------- - --------------- + C0 | sin(t) 2 2 | /
где C0 - это постоянная, не зависящая от t
Ответ (Неопределённый)
[src]
/ | | 1 log(-1 + cos(t)) log(1 + cos(t)) | 1*------ dt = C + ---------------- - --------------- | sin(t) 2 2 | /
$${{\log \left(\cos t-1\right)}\over{2}}-{{\log \left(\cos t+1\right)
}\over{2}}$$
Данные примеры также можно применять при вводе верхнего и нижнего предела интегрирования.