Интеграл (4*x+3)^10 d{x}

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = 4 x + 3$.

      Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $\frac{du}{4}$:

      $\int \frac{u^{10}}{16}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{u^{10}}{4}\, du = \frac{\int u^{10}\, du}{4}$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int u^{10}\, du = \frac{u^{11}}{11}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{u^{11}}{44}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{\left(4 x + 3\right)^{11}}{44}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(4 x + 3\right)^{10} = 1048576 x^{10} + 7864320 x^{9} + 26542080 x^{8} + 53084160 x^{7} + 69672960 x^{6} + 62705664 x^{5} + 39191040 x^{4} + 16796160 x^{3} + 4723920 x^{2} + 787320 x + 59049$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 1048576 x^{10}\, dx = 1048576 \int x^{10}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{10}\, dx = \frac{x^{11}}{11}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{1048576 x^{11}}{11}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 7864320 x^{9}\, dx = 7864320 \int x^{9}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{9}\, dx = \frac{x^{10}}{10}$

         Таким образом, результат будет: $786432 x^{10}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 26542080 x^{8}\, dx = 26542080 \int x^{8}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{8}\, dx = \frac{x^{9}}{9}$

         Таким образом, результат будет: $2949120 x^{9}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 53084160 x^{7}\, dx = 53084160 \int x^{7}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}$

         Таким образом, результат будет: $6635520 x^{8}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 69672960 x^{6}\, dx = 69672960 \int x^{6}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}$

         Таким образом, результат будет: $9953280 x^{7}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 62705664 x^{5}\, dx = 62705664 \int x^{5}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Таким образом, результат будет: $10450944 x^{6}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 39191040 x^{4}\, dx = 39191040 \int x^{4}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Таким образом, результат будет: $7838208 x^{5}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 16796160 x^{3}\, dx = 16796160 \int x^{3}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Таким образом, результат будет: $4199040 x^{4}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 4723920 x^{2}\, dx = 4723920 \int x^{2}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Таким образом, результат будет: $1574640 x^{3}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 787320 x\, dx = 787320 \int x\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $393660 x^{2}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 59049\, dx = 59049 x$

      Результат есть: $\frac{1048576 x^{11}}{11} + 786432 x^{10} + 2949120 x^{9} + 6635520 x^{8} + 9953280 x^{7} + 10450944 x^{6} + 7838208 x^{5} + 4199040 x^{4} + 1574640 x^{3} + 393660 x^{2} + 59049 x$

2. Теперь упростить:

   $\frac{\left(4 x + 3\right)^{11}}{44}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{\left(4 x + 3\right)^{11}}{44}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{\left(4 x + 3\right)^{11}}{44}+ \mathrm{constant}$