Интеграл (4*x-x^2)^2 d{x}

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\left(- x^{2} + 4 x\right)^{2} = x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2}$

2. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

      $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \left(- 8 x^{3}\right)\, dx = - 8 \int x^{3}\, dx$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

         $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

      Таким образом, результат будет: $- 2 x^{4}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 16 x^{2}\, dx = 16 \int x^{2}\, dx$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

         $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{16 x^{3}}{3}$

   Результат есть: $\frac{x^{5}}{5} - 2 x^{4} + \frac{16 x^{3}}{3}$

3. Теперь упростить:

   $\frac{x^{3} \cdot \left(3 x^{2} - 30 x + 80\right)}{15}$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x^{3} \cdot \left(3 x^{2} - 30 x + 80\right)}{15}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{x^{3} \cdot \left(3 x^{2} - 30 x + 80\right)}{15}+ \mathrm{constant}$