Интеграл 4*sin(x)^2 d{x}

1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int 4 \sin^{2}{\left(x \right)}\, dx = 4 \int \sin^{2}{\left(x \right)}\, dx$

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\sin^{2}{\left(x \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}$

         1. пусть $u = 2 x$.

            Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

            $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

               1. Интеграл от косинуса есть синус:

                  $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$

      Результат есть: $\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$

   Таким образом, результат будет: $2 x - \sin{\left(2 x \right)}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $2 x - \sin{\left(2 x \right)}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$2 x - \sin{\left(2 x \right)}+ \mathrm{constant}$