Интеграл 4*dx/(12-6*x)^5 d{x}

1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int 4 \cdot 1 \cdot \frac{1}{\left(12 - 6 x\right)^{5}}\, dx = 4 \int \frac{1}{\left(12 - 6 x\right)^{5}}\, dx$

   1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{1}{\left(12 - 6 x\right)^{5}} = - \frac{1}{7776 \left(x - 2\right)^{5}}$

      2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- \frac{1}{7776 \left(x - 2\right)^{5}}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{\left(x - 2\right)^{5}}\, dx}{7776}$

         1. пусть $u = x - 2$.

            Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u^{5}}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{u^{5}}\, du = - \frac{1}{4 u^{4}}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- \frac{1}{4 \left(x - 2\right)^{4}}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{1}{31104 \left(x - 2\right)^{4}}$

      Метод #2

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{1}{\left(12 - 6 x\right)^{5}} = - \frac{1}{7776 x^{5} - 77760 x^{4} + 311040 x^{3} - 622080 x^{2} + 622080 x - 248832}$

      2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- \frac{1}{7776 x^{5} - 77760 x^{4} + 311040 x^{3} - 622080 x^{2} + 622080 x - 248832}\right)\, dx = - \int \frac{1}{7776 x^{5} - 77760 x^{4} + 311040 x^{3} - 622080 x^{2} + 622080 x - 248832}\, dx$

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\frac{1}{7776 x^{5} - 77760 x^{4} + 311040 x^{3} - 622080 x^{2} + 622080 x - 248832} = \frac{1}{7776 \left(x - 2\right)^{5}}$

         2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{1}{7776 \left(x - 2\right)^{5}}\, dx = \frac{\int \frac{1}{\left(x - 2\right)^{5}}\, dx}{7776}$

            1. пусть $u = x - 2$.

               Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

               $\int \frac{1}{u^{5}}\, du$

               1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{5}}\, du = - \frac{1}{4 u^{4}}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $- \frac{1}{4 \left(x - 2\right)^{4}}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{31104 \left(x - 2\right)^{4}}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{1}{31104 \left(x - 2\right)^{4}}$

      Метод #3

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{1}{\left(12 - 6 x\right)^{5}} = \frac{1}{- 7776 x^{5} + 77760 x^{4} - 311040 x^{3} + 622080 x^{2} - 622080 x + 248832}$

      2. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{1}{- 7776 x^{5} + 77760 x^{4} - 311040 x^{3} + 622080 x^{2} - 622080 x + 248832} = - \frac{1}{7776 \left(x - 2\right)^{5}}$

      3. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- \frac{1}{7776 \left(x - 2\right)^{5}}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{\left(x - 2\right)^{5}}\, dx}{7776}$

         1. пусть $u = x - 2$.

            Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u^{5}}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{u^{5}}\, du = - \frac{1}{4 u^{4}}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- \frac{1}{4 \left(x - 2\right)^{4}}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{1}{31104 \left(x - 2\right)^{4}}$

   Таким образом, результат будет: $\frac{1}{7776 \left(x - 2\right)^{4}}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{1}{7776 \left(x - 2\right)^{4}}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{1}{7776 \left(x - 2\right)^{4}}+ \mathrm{constant}$