Интеграл (sin(pi*x))^2 d{x}

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\sin^{2}{\left(\pi x \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 \pi x \right)}}{2}$

2. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \left(- \frac{\cos{\left(2 \pi x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(2 \pi x \right)}\, dx}{2}$

      1. пусть $u = 2 \pi x$.

         Тогда пусть $du = 2 \pi dx$ и подставим $\frac{du}{2 \pi}$:

         $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4 \pi^{2}}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2 \pi}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2 \pi}$

            1. Интеграл от косинуса есть синус:

               $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2 \pi}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{\sin{\left(2 \pi x \right)}}{2 \pi}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{\sin{\left(2 \pi x \right)}}{4 \pi}$

   Результат есть: $\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 \pi x \right)}}{4 \pi}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 \pi x \right)}}{4 \pi}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 \pi x \right)}}{4 \pi}+ \mathrm{constant}$