Интеграл (4-x)^3 d{x}

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = 4 - x$.

      Тогда пусть $du = - dx$ и подставим $- du$:

      $\int u^{3}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- u^{3}\right)\, du = - \int u^{3}\, du$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{4}}{4}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{\left(4 - x\right)^{4}}{4}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(4 - x\right)^{3} = - x^{3} + 12 x^{2} - 48 x + 64$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- x^{3}\right)\, dx = - \int x^{3}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{x^{4}}{4}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 12 x^{2}\, dx = 12 \int x^{2}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Таким образом, результат будет: $4 x^{3}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- 48 x\right)\, dx = - 48 \int x\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $- 24 x^{2}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 64\, dx = 64 x$

      Результат есть: $- \frac{x^{4}}{4} + 4 x^{3} - 24 x^{2} + 64 x$

2. Теперь упростить:

   $- \frac{\left(x - 4\right)^{4}}{4}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{\left(x - 4\right)^{4}}{4}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$- \frac{\left(x - 4\right)^{4}}{4}+ \mathrm{constant}$