sin(x)+cos(x)>1 неравенство

Дано неравенство:
$$\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} > 1$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее уравнение:
$$\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} = 1$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} = 1$$
Преобразуем
$$\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} - 1 = 0$$
$$2 \left(- \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right) \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} = 0$$
Рассмотрим каждый множитель по-отдельности

Step

$$- \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} = 0$$
преобразуем:
$$- \frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}} = -1$$
или
$$- \tan{\left(\frac{x}{2} \right)} = -1$$
- это простейшее тригонометрическое уравнение
Разделим обе части уравнения на $-1$
уравнение превратится в
$$\tan{\left(\frac{x}{2} \right)} = -1$$
Это уравнение преобразуется в
$$\frac{x}{2} = \pi n + \operatorname{atan}{\left(-1 \right)}$$
Или
$$\frac{x}{2} = \pi n - \frac{\pi}{4}$$
, где n - любое целое число
Разделим обе части полученного уравнения на
$$\frac{1}{2}$$
получим промежуточный ответ:
$$x = 2 \pi n - \frac{\pi}{2}$$

Step

$$\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} = 0$$
- это простейшее тригонометрическое уравнение
Получим:
$$\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} = 0$$
Это уравнение преобразуется в
$$\frac{x}{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(0 \right)}$$
$$\frac{x}{2} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(0 \right)} + \pi$$
Или
$$\frac{x}{2} = 2 \pi n$$
$$\frac{x}{2} = 2 \pi n + \pi$$
, где n - любое целое число
Разделим обе части полученного уравнения на
$$\frac{1}{2}$$
получим промежуточный ответ:
$$x = 2 \pi n - \frac{\pi}{2}$$
$$x = 4 \pi n$$
$$x = 4 \pi n + 2 \pi$$
Получаем окончательный ответ:
$$x_{1} = 2 \pi n - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = 4 \pi n$$
$$x_{3} = 4 \pi n + 2 \pi$$
$$x_{1} = 2 \pi n - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = 4 \pi n$$
$$x_{3} = 4 \pi n + 2 \pi$$
$$x_{1} = 2 \pi n - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = 4 \pi n$$
$$x_{3} = 4 \pi n + 2 \pi$$
Данные корни
$$x_{1} = 2 \pi n - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = 4 \pi n$$
$$x_{3} = 4 \pi n + 2 \pi$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(2 \pi n - \frac{\pi}{2}\right) - \frac{1}{10}$$
=
$$2 \pi n - \frac{\pi}{2} - \frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} > 1$$
$$\sin{\left(2 \pi n - \frac{\pi}{2} - \frac{1}{10} \right)} + \cos{\left(2 \pi n - \frac{\pi}{2} - \frac{1}{10} \right)} > 1$$

-cos(1/10) - sin(1/10) > 1

Тогда
$$x < 2 \pi n - \frac{\pi}{2}$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > 2 \pi n - \frac{\pi}{2} \wedge x < 4 \pi n$$

         _____           _____  
        /     \         /
-------ο-------ο-------ο-------
       x_1      x_2      x_3

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x > 2 \pi n - \frac{\pi}{2} \wedge x < 4 \pi n$$
$$x > 4 \pi n + 2 \pi$$