Господин Экзамен
Другие калькуляторы
-
Как пользоваться?
- Неравенство:
-
x*(3-x)>=0
-
6-5*x<2
-
cos(3*x)>1/3
-
27^(x+2)<=81
- Производная:
-
cos(3*x)
- 1/3
- Интеграл d{x}:
-
cos(3*x)
-
1/3
- График функции y =:
-
cos(3*x)
- 1/3
-
Идентичные выражения
- cos(три *x)> один / три
- косинус от (3 умножить на x) больше 1 делить на 3
- косинус от (три умножить на x) больше один делить на три
- cos(3x)>1/3
- cos3x>1/3
- cos(3*x)>1 разделить на 3
-
Похожие выражения
- cos(3*x-pi/6)<=1/2
- cos(3*x-2*pi/3)>=-1/2
- (7-6*x)/2+10*x<(20*x+1)/3+2
cos(3*x)>1/3 неравенство
Решение
Подробное решение
Дано неравенство:
$$\cos{\left(3 x \right)} > \frac{1}{3}$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее уравнение:
$$\cos{\left(3 x \right)} = \frac{1}{3}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\cos{\left(3 x \right)} = \frac{1}{3}$$
- это простейшее тригонометрическое уравнение
Это уравнение преобразуется в
$$3 x = 2 \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{3} \right)}$$
$$3 x = 2 \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{3} \right)}$$
Или
$$3 x = 2 \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{3} \right)}$$
$$3 x = 2 \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{3} \right)}$$
, где n - любое целое число
Разделим обе части полученного уравнения на
$$3$$
получим промежуточный ответ:
$$x = \frac{2 \pi n}{3} + \frac{\operatorname{acos}{\left(\frac{1}{3} \right)}}{3}$$
$$x = \frac{2 \pi n}{3} - \frac{\pi}{3} + \frac{\operatorname{acos}{\left(\frac{1}{3} \right)}}{3}$$
$$x_{1} = \frac{2 \pi n}{3} + \frac{\operatorname{acos}{\left(\frac{1}{3} \right)}}{3}$$
$$x_{2} = \frac{2 \pi n}{3} - \frac{\pi}{3} + \frac{\operatorname{acos}{\left(\frac{1}{3} \right)}}{3}$$
$$x_{1} = \frac{2 \pi n}{3} + \frac{\operatorname{acos}{\left(\frac{1}{3} \right)}}{3}$$
$$x_{2} = \frac{2 \pi n}{3} - \frac{\pi}{3} + \frac{\operatorname{acos}{\left(\frac{1}{3} \right)}}{3}$$
Данные корни
$$x_{1} = \frac{2 \pi n}{3} + \frac{\operatorname{acos}{\left(\frac{1}{3} \right)}}{3}$$
$$x_{2} = \frac{2 \pi n}{3} - \frac{\pi}{3} + \frac{\operatorname{acos}{\left(\frac{1}{3} \right)}}{3}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(\frac{2 \pi n}{3} + \frac{\operatorname{acos}{\left(\frac{1}{3} \right)}}{3}\right) - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{2 \pi n}{3} - \frac{1}{10} + \frac{\operatorname{acos}{\left(\frac{1}{3} \right)}}{3}$$
подставляем в выражение
$$\cos{\left(3 x \right)} > \frac{1}{3}$$
$$\cos{\left(3 \cdot \left(\frac{2 \pi n}{3} - \frac{1}{10} + \frac{\operatorname{acos}{\left(\frac{1}{3} \right)}}{3}\right) \right)} > \frac{1}{3}$$
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x < \frac{2 \pi n}{3} + \frac{\operatorname{acos}{\left(\frac{1}{3} \right)}}{3}$$
Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x < \frac{2 \pi n}{3} + \frac{\operatorname{acos}{\left(\frac{1}{3} \right)}}{3}$$
$$x > \frac{2 \pi n}{3} - \frac{\pi}{3} + \frac{\operatorname{acos}{\left(\frac{1}{3} \right)}}{3}$$
$$\cos{\left(3 x \right)} > \frac{1}{3}$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее уравнение:
$$\cos{\left(3 x \right)} = \frac{1}{3}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\cos{\left(3 x \right)} = \frac{1}{3}$$
- это простейшее тригонометрическое уравнение
Это уравнение преобразуется в
$$3 x = 2 \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{3} \right)}$$
$$3 x = 2 \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{3} \right)}$$
Или
$$3 x = 2 \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{3} \right)}$$
$$3 x = 2 \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{3} \right)}$$
, где n - любое целое число
Разделим обе части полученного уравнения на
$$3$$
получим промежуточный ответ:
$$x = \frac{2 \pi n}{3} + \frac{\operatorname{acos}{\left(\frac{1}{3} \right)}}{3}$$
$$x = \frac{2 \pi n}{3} - \frac{\pi}{3} + \frac{\operatorname{acos}{\left(\frac{1}{3} \right)}}{3}$$
$$x_{1} = \frac{2 \pi n}{3} + \frac{\operatorname{acos}{\left(\frac{1}{3} \right)}}{3}$$
$$x_{2} = \frac{2 \pi n}{3} - \frac{\pi}{3} + \frac{\operatorname{acos}{\left(\frac{1}{3} \right)}}{3}$$
$$x_{1} = \frac{2 \pi n}{3} + \frac{\operatorname{acos}{\left(\frac{1}{3} \right)}}{3}$$
$$x_{2} = \frac{2 \pi n}{3} - \frac{\pi}{3} + \frac{\operatorname{acos}{\left(\frac{1}{3} \right)}}{3}$$
Данные корни
$$x_{1} = \frac{2 \pi n}{3} + \frac{\operatorname{acos}{\left(\frac{1}{3} \right)}}{3}$$
$$x_{2} = \frac{2 \pi n}{3} - \frac{\pi}{3} + \frac{\operatorname{acos}{\left(\frac{1}{3} \right)}}{3}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(\frac{2 \pi n}{3} + \frac{\operatorname{acos}{\left(\frac{1}{3} \right)}}{3}\right) - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{2 \pi n}{3} - \frac{1}{10} + \frac{\operatorname{acos}{\left(\frac{1}{3} \right)}}{3}$$
подставляем в выражение
$$\cos{\left(3 x \right)} > \frac{1}{3}$$
$$\cos{\left(3 \cdot \left(\frac{2 \pi n}{3} - \frac{1}{10} + \frac{\operatorname{acos}{\left(\frac{1}{3} \right)}}{3}\right) \right)} > \frac{1}{3}$$
cos(3/10 - acos(1/3)) > 1/3
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x < \frac{2 \pi n}{3} + \frac{\operatorname{acos}{\left(\frac{1}{3} \right)}}{3}$$
_____ _____
\ /
-------ο-------ο-------
x_1 x_2Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x < \frac{2 \pi n}{3} + \frac{\operatorname{acos}{\left(\frac{1}{3} \right)}}{3}$$
$$x > \frac{2 \pi n}{3} - \frac{\pi}{3} + \frac{\operatorname{acos}{\left(\frac{1}{3} \right)}}{3}$$
Решение неравенства на графике
Быстрый ответ
[src]
/ / / ___\\ / / ___\ \\ | | atan\2*\/ 2 /| | 2*pi atan\2*\/ 2 / 2*pi || Or|And|0 <= x, x < -------------|, And|x < ----, - ------------- + ---- < x|| \ \ 3 / \ 3 3 3 //
$$\left(0 \leq x \wedge x < \frac{\operatorname{atan}{\left(2 \sqrt{2} \right)}}{3}\right) \vee \left(x < \frac{2 \pi}{3} \wedge - \frac{\operatorname{atan}{\left(2 \sqrt{2} \right)}}{3} + \frac{2 \pi}{3} < x\right)$$
((0 <= x)∧(x < atan(2*sqrt(2))/3))∨((x < 2*pi/3)∧(-atan(2*sqrt(2))/3 + 2*pi/3 < x))
Быстрый ответ 2
[src]
/ ___\ / ___\
atan\2*\/ 2 / atan\2*\/ 2 / 2*pi 2*pi
[0, -------------) U (- ------------- + ----, ----)
3 3 3 3
$$x\ in\ \left[0, \frac{\operatorname{atan}{\left(2 \sqrt{2} \right)}}{3}\right) \cup \left(- \frac{\operatorname{atan}{\left(2 \sqrt{2} \right)}}{3} + \frac{2 \pi}{3}, \frac{2 \pi}{3}\right)$$
x in Union(Interval.Ropen(0, atan(2*sqrt(2))/3), Interval.open(-atan(2*sqrt(2))/3 + 2*pi/3, 2*pi/3))
График