Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
- (x^3+16)/x
- (x^3-27*x+54)/(x^3)
- sqrt(x)^2-1
-
sqrt(3)/2*x-sin(x)
-
Идентичные выражения
- x^ три /(x^ два + девять)
- x в кубе делить на (x в квадрате плюс 9)
- x в степени три делить на (x в степени два плюс девять)
- x3/(x2+9)
- x3/x2+9
- x³/(x²+9)
- x в степени 3/(x в степени 2+9)
- x^3/x^2+9
- x^3 разделить на (x^2+9)
-
Похожие выражения
- x^3/(x^2-9)
-
Что Вы имели ввиду?
- x^3/(x^2 + 9)
- x^3/(x^2) + 9
- x^3*2/x + 9
- x^3/(x^2) + 9
- x*3/(x^2 + 9)
- x*3/x^2 + 9
- x^3/(x^2) + 9
Вы ввели:
x^3/(x^2+9)
Что Вы имели ввиду?
График функции y = x^3/(x^2+9)
Решение
Вы ввели
[src]
3
x
f(x) = ------
2
x + 9
$$f{\left(x \right)} = \frac{x^{3}}{x^{2} + 9}$$
f = x^3/(x^2 + 9)
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x^{3}}{x^{2} + 9} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 0.000172823017715923$$
$$x_{2} = 0.00012602454006369$$
$$x_{3} = 9.87754217216078 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{4} = -0.000165258143008962$$
$$x_{5} = -6.60298780557037 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{6} = 0.000116854606996462$$
$$x_{7} = 9.03465307048903 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{8} = -0.000109365857834297$$
$$x_{9} = -6.8918966815828 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{10} = 0.000112740506253713$$
$$x_{11} = 7.71336534668644 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{12} = -0.000137424273354199$$
$$x_{13} = -0.000117389511101856$$
$$x_{14} = 0.000108899811213854$$
$$x_{15} = -9.06693604359377 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{16} = 8.54729694601505 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{17} = 8.32256754367249 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{18} = 0.000204441427821684$$
$$x_{19} = -0.000150120408722181$$
$$x_{20} = -0.000126644173894107$$
$$x_{21} = 0.00015640566270218$$
$$x_{22} = 0$$
$$x_{23} = -8.3500188173432 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{24} = 6.45079560498952 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{25} = 7.0263252389673 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{26} = 0.000164228122944688$$
$$x_{27} = 0.000182300478806211$$
$$x_{28} = -7.04595464827079 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{29} = -7.93119629826393 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{30} = -7.37548134453899 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{31} = 0.000121271446193086$$
$$x_{32} = 0.000105306760881968$$
$$x_{33} = -6.33715343219745 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{34} = -9.33360904533372 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{35} = -0.000113239251750672$$
$$x_{36} = 0.000131152321516462$$
$$x_{37} = -0.000105743151745813$$
$$x_{38} = -0.000102348075104924$$
$$x_{39} = 0.000149261647377957$$
$$x_{40} = -0.000183553402627244$$
$$x_{41} = 0.000192789600293489$$
$$x_{42} = -0.000131821771315269$$
$$x_{43} = -9.61616105471188 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{44} = -8.57623251858528 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{45} = 6.87310768650372 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{46} = -0.000194179108885749$$
$$x_{47} = 0.000217431740685598$$
$$x_{48} = -0.0001435037080328$$
$$x_{49} = -7.73698272019829 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{50} = 6.19675433525079 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{51} = -0.000157344576378456$$
$$x_{52} = 9.29943419726469 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{53} = 0.000142715724179813$$
$$x_{54} = -6.74437574281774 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{55} = -7.20698957747758 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{56} = 7.35399461045188 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{57} = -6.46736119331902 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{58} = 0.000101938654373905$$
$$x_{59} = -7.55195434664227 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{60} = 7.18646266553242 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{61} = -0.000205988082456363$$
$$x_{62} = 6.58572669899586 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{63} = 6.72637477220472 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{64} = 9.57992627109346 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{65} = 7.5294396343381 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{66} = 0.000136699020762325$$
$$x_{67} = 8.78431871608868 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{68} = -0.000121846455838082$$
$$x_{69} = 7.90639426448837 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{70} = -0.000173956971322533$$
$$x_{71} = -9.91602501062719 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{72} = -6.21204846101374 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{73} = -0.000219159344578351$$
$$x_{74} = -8.81486037119559 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{75} = -8.13528743121362 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{76} = 8.10921051750167 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{77} = 6.32124246368269 \cdot 10^{-5}$$
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x^{3}}{x^{2} + 9} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 0.000172823017715923$$
$$x_{2} = 0.00012602454006369$$
$$x_{3} = 9.87754217216078 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{4} = -0.000165258143008962$$
$$x_{5} = -6.60298780557037 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{6} = 0.000116854606996462$$
$$x_{7} = 9.03465307048903 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{8} = -0.000109365857834297$$
$$x_{9} = -6.8918966815828 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{10} = 0.000112740506253713$$
$$x_{11} = 7.71336534668644 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{12} = -0.000137424273354199$$
$$x_{13} = -0.000117389511101856$$
$$x_{14} = 0.000108899811213854$$
$$x_{15} = -9.06693604359377 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{16} = 8.54729694601505 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{17} = 8.32256754367249 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{18} = 0.000204441427821684$$
$$x_{19} = -0.000150120408722181$$
$$x_{20} = -0.000126644173894107$$
$$x_{21} = 0.00015640566270218$$
$$x_{22} = 0$$
$$x_{23} = -8.3500188173432 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{24} = 6.45079560498952 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{25} = 7.0263252389673 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{26} = 0.000164228122944688$$
$$x_{27} = 0.000182300478806211$$
$$x_{28} = -7.04595464827079 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{29} = -7.93119629826393 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{30} = -7.37548134453899 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{31} = 0.000121271446193086$$
$$x_{32} = 0.000105306760881968$$
$$x_{33} = -6.33715343219745 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{34} = -9.33360904533372 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{35} = -0.000113239251750672$$
$$x_{36} = 0.000131152321516462$$
$$x_{37} = -0.000105743151745813$$
$$x_{38} = -0.000102348075104924$$
$$x_{39} = 0.000149261647377957$$
$$x_{40} = -0.000183553402627244$$
$$x_{41} = 0.000192789600293489$$
$$x_{42} = -0.000131821771315269$$
$$x_{43} = -9.61616105471188 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{44} = -8.57623251858528 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{45} = 6.87310768650372 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{46} = -0.000194179108885749$$
$$x_{47} = 0.000217431740685598$$
$$x_{48} = -0.0001435037080328$$
$$x_{49} = -7.73698272019829 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{50} = 6.19675433525079 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{51} = -0.000157344576378456$$
$$x_{52} = 9.29943419726469 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{53} = 0.000142715724179813$$
$$x_{54} = -6.74437574281774 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{55} = -7.20698957747758 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{56} = 7.35399461045188 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{57} = -6.46736119331902 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{58} = 0.000101938654373905$$
$$x_{59} = -7.55195434664227 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{60} = 7.18646266553242 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{61} = -0.000205988082456363$$
$$x_{62} = 6.58572669899586 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{63} = 6.72637477220472 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{64} = 9.57992627109346 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{65} = 7.5294396343381 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{66} = 0.000136699020762325$$
$$x_{67} = 8.78431871608868 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{68} = -0.000121846455838082$$
$$x_{69} = 7.90639426448837 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{70} = -0.000173956971322533$$
$$x_{71} = -9.91602501062719 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{72} = -6.21204846101374 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{73} = -0.000219159344578351$$
$$x_{74} = -8.81486037119559 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{75} = -8.13528743121362 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{76} = 8.10921051750167 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{77} = 6.32124246368269 \cdot 10^{-5}$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{2 x^{4}}{\left(x^{2} + 9\right)^{2}} + \frac{3 x^{2}}{x^{2} + 9} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумов у функции нет
Возрастает на всей числовой оси
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{2 x^{4}}{\left(x^{2} + 9\right)^{2}} + \frac{3 x^{2}}{x^{2} + 9} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
Зн. экстремумы в точках:
(0, 0)
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумов у функции нет
Возрастает на всей числовой оси
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{2 x \left(\frac{x^{2} \cdot \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} + 9} - 1\right)}{x^{2} + 9} - \frac{6 x^{2}}{x^{2} + 9} + 3\right)}{x^{2} + 9} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - 3 \sqrt{3}$$
$$x_{3} = 3 \sqrt{3}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, - 3 \sqrt{3}\right] \cup \left[0, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[3 \sqrt{3}, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{2 x \left(\frac{x^{2} \cdot \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} + 9} - 1\right)}{x^{2} + 9} - \frac{6 x^{2}}{x^{2} + 9} + 3\right)}{x^{2} + 9} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - 3 \sqrt{3}$$
$$x_{3} = 3 \sqrt{3}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, - 3 \sqrt{3}\right] \cup \left[0, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[3 \sqrt{3}, \infty\right)$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3}}{x^{2} + 9}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3}}{x^{2} + 9}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3}}{x^{2} + 9}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3}}{x^{2} + 9}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^3/(x^2 + 9), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2}}{x^{2} + 9}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2}}{x^{2} + 9}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2}}{x^{2} + 9}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2}}{x^{2} + 9}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x$$
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x^{3}}{x^{2} + 9} = - \frac{x^{3}}{x^{2} + 9}$$
- Нет
$$\frac{x^{3}}{x^{2} + 9} = \frac{x^{3}}{x^{2} + 9}$$
- Да
значит, функция
является
нечётной
Итак, проверяем:
$$\frac{x^{3}}{x^{2} + 9} = - \frac{x^{3}}{x^{2} + 9}$$
- Нет
$$\frac{x^{3}}{x^{2} + 9} = \frac{x^{3}}{x^{2} + 9}$$
- Да
значит, функция
является
нечётной
График