Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
- (sqrt(2*x-7))/(x^2)
-
sqrt(5-x)
-
3/log(2,|x+1|)
-
x^3/(x^2-9)
- Производная:
-
x^3/(x^2-9)
-
Идентичные выражения
- x^ три /(x^ два - девять)
- x в кубе делить на (x в квадрате минус 9)
- x в степени три делить на (x в степени два минус девять)
- x3/(x2-9)
- x3/x2-9
- x³/(x²-9)
- x в степени 3/(x в степени 2-9)
- x^3/x^2-9
- x^3 разделить на (x^2-9)
-
Похожие выражения
- (5*x^2-x^3)/(x^2-9)
- x^3/x^2-(9/4)
- x^3/(x^2+9)
-
Что Вы имели ввиду?
- x^3/(x^2 - 1*9)
- x^3/(x^2) - 1*9
- x^3*2/x - 1*9
- x^3/(x^2) - 1*9
- x*3/(x^2 - 1*9)
- x*3/x^2 - 1*9
- x^3/(x^2) - 1*9
Вы ввели:
x^3/(x^2-9)
Что Вы имели ввиду?
График функции y = x^3/(x^2-9)
Решение
Вы ввели
[src]
3
x
f(x) = ------
2
x - 9
$$f{\left(x \right)} = \frac{x^{3}}{x^{2} - 9}$$
f = x^3/(x^2 - 1*9)
График функции
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 3$$
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 3$$
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x^{3}}{x^{2} - 9} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = -7.88539617102066 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{2} = -9.91565507823289 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{3} = 7.52544778638985 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{4} = 0.000114442977263275$$
$$x_{5} = 0.00011031124837424$$
$$x_{6} = 6.43152328493294 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{7} = 9.07429404372699 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{8} = -9.04098595313105 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{9} = 0.000118904016923215$$
$$x_{10} = -0.000123110398498934$$
$$x_{11} = -6.41489274300864 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{12} = -7.50262764541197 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{13} = -8.09198325333169 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{14} = -0.000106012318186465$$
$$x_{15} = 7.34671744821385 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{16} = 0.000164132722947063$$
$$x_{17} = -8.30982112572626 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{18} = -8.78318793618923 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{19} = -6.99398158054468 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{20} = 6.30086100095448 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{21} = -0.000172450633076765$$
$$x_{22} = 0.000155593675876357$$
$$x_{23} = 0.00012898963497405$$
$$x_{24} = 0.000141007336634412$$
$$x_{25} = 6.56776191307577 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{26} = -0.00014018887125294$$
$$x_{27} = -7.6892017270836 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{28} = -0.00011390929028315$$
$$x_{29} = 7.71318484636565 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{30} = 7.01378228845023 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{31} = -0.000154590751925325$$
$$x_{32} = 8.118579096995 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{33} = -8.53986622725984 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{34} = -9.60558986662377 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{35} = -6.28490317762518 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{36} = -0.000163012252958411$$
$$x_{37} = -0.000102467817097509$$
$$x_{38} = 0.000184541910091036$$
$$x_{39} = 6.70994449113144 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{40} = 6.8584719211059 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{41} = -0.000147025538377452$$
$$x_{42} = -9.31461103498244 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{43} = -6.5504148685528 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{44} = 7.17635531110591 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{45} = 0.000173711564152001$$
$$x_{46} = -0.000133977734551484$$
$$x_{47} = 0.000196899754316717$$
$$x_{48} = -0.000109816094630191$$
$$x_{49} = 0$$
$$x_{50} = 9.64326622956244 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{51} = 7.91063448380903 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{52} = -0.000209251897351936$$
$$x_{53} = 0.000102897626160633$$
$$x_{54} = 8.81459486231347 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{55} = 8.33788840298969 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{56} = -7.3249769616671 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{57} = 0.000211152746351108$$
$$x_{58} = -0.000118327008901393$$
$$x_{59} = 0.000147928995385865$$
$$x_{60} = 9.35000094339708 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{61} = -0.000183110977982053$$
$$x_{62} = 0.000106473035647675$$
$$x_{63} = 9.95585069076737 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{64} = 8.56953210616912 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{65} = -0.000225569151401264$$
$$x_{66} = 0.000134722949144904$$
$$x_{67} = -0.000128308038467588$$
$$x_{68} = -0.000195259986287809$$
$$x_{69} = -6.69183324657405 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{70} = -7.15561899215871 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{71} = -6.83954441503812 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{72} = 0.000123736361237601$$
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x^{3}}{x^{2} - 9} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = -7.88539617102066 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{2} = -9.91565507823289 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{3} = 7.52544778638985 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{4} = 0.000114442977263275$$
$$x_{5} = 0.00011031124837424$$
$$x_{6} = 6.43152328493294 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{7} = 9.07429404372699 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{8} = -9.04098595313105 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{9} = 0.000118904016923215$$
$$x_{10} = -0.000123110398498934$$
$$x_{11} = -6.41489274300864 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{12} = -7.50262764541197 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{13} = -8.09198325333169 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{14} = -0.000106012318186465$$
$$x_{15} = 7.34671744821385 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{16} = 0.000164132722947063$$
$$x_{17} = -8.30982112572626 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{18} = -8.78318793618923 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{19} = -6.99398158054468 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{20} = 6.30086100095448 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{21} = -0.000172450633076765$$
$$x_{22} = 0.000155593675876357$$
$$x_{23} = 0.00012898963497405$$
$$x_{24} = 0.000141007336634412$$
$$x_{25} = 6.56776191307577 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{26} = -0.00014018887125294$$
$$x_{27} = -7.6892017270836 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{28} = -0.00011390929028315$$
$$x_{29} = 7.71318484636565 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{30} = 7.01378228845023 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{31} = -0.000154590751925325$$
$$x_{32} = 8.118579096995 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{33} = -8.53986622725984 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{34} = -9.60558986662377 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{35} = -6.28490317762518 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{36} = -0.000163012252958411$$
$$x_{37} = -0.000102467817097509$$
$$x_{38} = 0.000184541910091036$$
$$x_{39} = 6.70994449113144 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{40} = 6.8584719211059 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{41} = -0.000147025538377452$$
$$x_{42} = -9.31461103498244 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{43} = -6.5504148685528 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{44} = 7.17635531110591 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{45} = 0.000173711564152001$$
$$x_{46} = -0.000133977734551484$$
$$x_{47} = 0.000196899754316717$$
$$x_{48} = -0.000109816094630191$$
$$x_{49} = 0$$
$$x_{50} = 9.64326622956244 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{51} = 7.91063448380903 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{52} = -0.000209251897351936$$
$$x_{53} = 0.000102897626160633$$
$$x_{54} = 8.81459486231347 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{55} = 8.33788840298969 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{56} = -7.3249769616671 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{57} = 0.000211152746351108$$
$$x_{58} = -0.000118327008901393$$
$$x_{59} = 0.000147928995385865$$
$$x_{60} = 9.35000094339708 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{61} = -0.000183110977982053$$
$$x_{62} = 0.000106473035647675$$
$$x_{63} = 9.95585069076737 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{64} = 8.56953210616912 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{65} = -0.000225569151401264$$
$$x_{66} = 0.000134722949144904$$
$$x_{67} = -0.000128308038467588$$
$$x_{68} = -0.000195259986287809$$
$$x_{69} = -6.69183324657405 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{70} = -7.15561899215871 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{71} = -6.83954441503812 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{72} = 0.000123736361237601$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{2 x^{4}}{\left(x^{2} - 9\right)^{2}} + \frac{3 x^{2}}{x^{2} - 9} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - 3 \sqrt{3}$$
$$x_{3} = 3 \sqrt{3}$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 3 \sqrt{3}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = - 3 \sqrt{3}$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, - 3 \sqrt{3}\right] \cup \left[3 \sqrt{3}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[- 3 \sqrt{3}, 3 \sqrt{3}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{2 x^{4}}{\left(x^{2} - 9\right)^{2}} + \frac{3 x^{2}}{x^{2} - 9} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - 3 \sqrt{3}$$
$$x_{3} = 3 \sqrt{3}$$
Зн. экстремумы в точках:
(0, 0)
___
___ -81*\/ 3
(-3*\/ 3, ----------)
-9 + 27 ___
___ 81*\/ 3
(3*\/ 3, --------)
-9 + 27 Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 3 \sqrt{3}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = - 3 \sqrt{3}$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, - 3 \sqrt{3}\right] \cup \left[3 \sqrt{3}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[- 3 \sqrt{3}, 3 \sqrt{3}\right]$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{2 x \left(\frac{x^{2} \cdot \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 9} - 1\right)}{x^{2} - 9} - \frac{6 x^{2}}{x^{2} - 9} + 3\right)}{x^{2} - 9} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 3$$
$$\lim_{x \to -3^-}\left(\frac{2 x \left(\frac{x^{2} \cdot \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 9} - 1\right)}{x^{2} - 9} - \frac{6 x^{2}}{x^{2} - 9} + 3\right)}{x^{2} - 9}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to -3^+}\left(\frac{2 x \left(\frac{x^{2} \cdot \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 9} - 1\right)}{x^{2} - 9} - \frac{6 x^{2}}{x^{2} - 9} + 3\right)}{x^{2} - 9}\right) = \infty$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = -3$$
- является точкой перегиба
$$\lim_{x \to 3^-}\left(\frac{2 x \left(\frac{x^{2} \cdot \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 9} - 1\right)}{x^{2} - 9} - \frac{6 x^{2}}{x^{2} - 9} + 3\right)}{x^{2} - 9}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{2 x \left(\frac{x^{2} \cdot \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 9} - 1\right)}{x^{2} - 9} - \frac{6 x^{2}}{x^{2} - 9} + 3\right)}{x^{2} - 9}\right) = \infty$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{2} = 3$$
- является точкой перегиба
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[0, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{2 x \left(\frac{x^{2} \cdot \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 9} - 1\right)}{x^{2} - 9} - \frac{6 x^{2}}{x^{2} - 9} + 3\right)}{x^{2} - 9} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 3$$
$$\lim_{x \to -3^-}\left(\frac{2 x \left(\frac{x^{2} \cdot \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 9} - 1\right)}{x^{2} - 9} - \frac{6 x^{2}}{x^{2} - 9} + 3\right)}{x^{2} - 9}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to -3^+}\left(\frac{2 x \left(\frac{x^{2} \cdot \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 9} - 1\right)}{x^{2} - 9} - \frac{6 x^{2}}{x^{2} - 9} + 3\right)}{x^{2} - 9}\right) = \infty$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = -3$$
- является точкой перегиба
$$\lim_{x \to 3^-}\left(\frac{2 x \left(\frac{x^{2} \cdot \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 9} - 1\right)}{x^{2} - 9} - \frac{6 x^{2}}{x^{2} - 9} + 3\right)}{x^{2} - 9}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{2 x \left(\frac{x^{2} \cdot \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 9} - 1\right)}{x^{2} - 9} - \frac{6 x^{2}}{x^{2} - 9} + 3\right)}{x^{2} - 9}\right) = \infty$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{2} = 3$$
- является точкой перегиба
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[0, \infty\right)$$
Вертикальные асимптоты
Есть:
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 3$$
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 3$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3}}{x^{2} - 9}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3}}{x^{2} - 9}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3}}{x^{2} - 9}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3}}{x^{2} - 9}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^3/(x^2 - 1*9), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2}}{x^{2} - 9}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2}}{x^{2} - 9}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2}}{x^{2} - 9}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2}}{x^{2} - 9}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x$$
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x^{3}}{x^{2} - 9} = - \frac{x^{3}}{x^{2} - 9}$$
- Нет
$$\frac{x^{3}}{x^{2} - 9} = \frac{x^{3}}{x^{2} - 9}$$
- Да
значит, функция
является
нечётной
Итак, проверяем:
$$\frac{x^{3}}{x^{2} - 9} = - \frac{x^{3}}{x^{2} - 9}$$
- Нет
$$\frac{x^{3}}{x^{2} - 9} = \frac{x^{3}}{x^{2} - 9}$$
- Да
значит, функция
является
нечётной
График