Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
- (x^3+16)/x
- (x^3-27*x+54)/(x^3)
- sqrt(x)^2-1
-
sqrt(3)/2*x-sin(x)
- Производная:
-
(5*x^2-x^3)/(x^2-9)
-
Идентичные выражения
- (пять *x^ два -x^ три)/(x^ два - девять)
- (5 умножить на x в квадрате минус x в кубе ) делить на (x в квадрате минус 9)
- (пять умножить на x в степени два минус x в степени три) делить на (x в степени два минус девять)
- (5*x2-x3)/(x2-9)
- 5*x2-x3/x2-9
- (5*x²-x³)/(x²-9)
- (5*x в степени 2-x в степени 3)/(x в степени 2-9)
- (5x^2-x^3)/(x^2-9)
- (5x2-x3)/(x2-9)
- 5x2-x3/x2-9
- 5x^2-x^3/x^2-9
- (5*x^2-x^3) разделить на (x^2-9)
-
Похожие выражения
- (5*x^2-x^3)/(x^2+9)
- (5*x^2+x^3)/(x^2-9)
График функции y = (5*x^2-x^3)/(x^2-9)
Решение
Вы ввели
[src]
2 3
5*x - x
f(x) = ---------
2
x - 9
$$f{\left(x \right)} = \frac{- x^{3} + 5 x^{2}}{x^{2} - 9}$$
f = (-x^3 + 5*x^2)/(x^2 - 1*9)
График функции
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 3$$
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 3$$
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{- x^{3} + 5 x^{2}}{x^{2} - 9} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 5$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 5$$
значит надо решить уравнение:
$$\frac{- x^{3} + 5 x^{2}}{x^{2} - 9} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 5$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 5$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{2 x \left(- x^{3} + 5 x^{2}\right)}{\left(x^{2} - 9\right)^{2}} + \frac{- 3 x^{2} + 10 x}{x^{2} - 9} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - 3 \cdot \sqrt[3]{3} - 3^{\frac{2}{3}}$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = - 3 \cdot \sqrt[3]{3} - 3^{\frac{2}{3}}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = 0$$
Убывает на промежутках
$$\left[- 3 \cdot \sqrt[3]{3} - 3^{\frac{2}{3}}, 0\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, - 3 \cdot \sqrt[3]{3} - 3^{\frac{2}{3}}\right] \cup \left[0, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{2 x \left(- x^{3} + 5 x^{2}\right)}{\left(x^{2} - 9\right)^{2}} + \frac{- 3 x^{2} + 10 x}{x^{2} - 9} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - 3 \cdot \sqrt[3]{3} - 3^{\frac{2}{3}}$$
Зн. экстремумы в точках:
(0, 0)
2 3
/ 3 ___ 2/3\ / 3 ___ 2/3\
3 ___ 2/3 5*\- 3*\/ 3 - 3 / - \- 3*\/ 3 - 3 /
(- 3*\/ 3 - 3 , -------------------------------------------)
2
/ 3 ___ 2/3\
-9 + \- 3*\/ 3 - 3 / Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = - 3 \cdot \sqrt[3]{3} - 3^{\frac{2}{3}}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = 0$$
Убывает на промежутках
$$\left[- 3 \cdot \sqrt[3]{3} - 3^{\frac{2}{3}}, 0\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, - 3 \cdot \sqrt[3]{3} - 3^{\frac{2}{3}}\right] \cup \left[0, \infty\right)$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{2 \left(- \frac{x^{2} \left(x - 5\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 9} - 1\right)}{x^{2} - 9} + \frac{2 x^{2} \cdot \left(3 x - 10\right)}{x^{2} - 9} - 3 x + 5\right)}{x^{2} - 9} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 2 \cdot 2^{\frac{2}{3}} + 5 + 4 \cdot \sqrt[3]{2}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 3$$
$$\lim_{x \to -3^-}\left(\frac{2 \left(- \frac{x^{2} \left(x - 5\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 9} - 1\right)}{x^{2} - 9} + \frac{2 x^{2} \cdot \left(3 x - 10\right)}{x^{2} - 9} - 3 x + 5\right)}{x^{2} - 9}\right) = \infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to -3^+}\left(\frac{2 \left(- \frac{x^{2} \left(x - 5\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 9} - 1\right)}{x^{2} - 9} + \frac{2 x^{2} \cdot \left(3 x - 10\right)}{x^{2} - 9} - 3 x + 5\right)}{x^{2} - 9}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = -3$$
- является точкой перегиба
$$\lim_{x \to 3^-}\left(\frac{2 \left(- \frac{x^{2} \left(x - 5\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 9} - 1\right)}{x^{2} - 9} + \frac{2 x^{2} \cdot \left(3 x - 10\right)}{x^{2} - 9} - 3 x + 5\right)}{x^{2} - 9}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{2 \left(- \frac{x^{2} \left(x - 5\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 9} - 1\right)}{x^{2} - 9} + \frac{2 x^{2} \cdot \left(3 x - 10\right)}{x^{2} - 9} - 3 x + 5\right)}{x^{2} - 9}\right) = \infty$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{2} = 3$$
- является точкой перегиба
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, 2 \cdot 2^{\frac{2}{3}} + 5 + 4 \cdot \sqrt[3]{2}\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[2 \cdot 2^{\frac{2}{3}} + 5 + 4 \cdot \sqrt[3]{2}, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{2 \left(- \frac{x^{2} \left(x - 5\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 9} - 1\right)}{x^{2} - 9} + \frac{2 x^{2} \cdot \left(3 x - 10\right)}{x^{2} - 9} - 3 x + 5\right)}{x^{2} - 9} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 2 \cdot 2^{\frac{2}{3}} + 5 + 4 \cdot \sqrt[3]{2}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 3$$
$$\lim_{x \to -3^-}\left(\frac{2 \left(- \frac{x^{2} \left(x - 5\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 9} - 1\right)}{x^{2} - 9} + \frac{2 x^{2} \cdot \left(3 x - 10\right)}{x^{2} - 9} - 3 x + 5\right)}{x^{2} - 9}\right) = \infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to -3^+}\left(\frac{2 \left(- \frac{x^{2} \left(x - 5\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 9} - 1\right)}{x^{2} - 9} + \frac{2 x^{2} \cdot \left(3 x - 10\right)}{x^{2} - 9} - 3 x + 5\right)}{x^{2} - 9}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = -3$$
- является точкой перегиба
$$\lim_{x \to 3^-}\left(\frac{2 \left(- \frac{x^{2} \left(x - 5\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 9} - 1\right)}{x^{2} - 9} + \frac{2 x^{2} \cdot \left(3 x - 10\right)}{x^{2} - 9} - 3 x + 5\right)}{x^{2} - 9}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{2 \left(- \frac{x^{2} \left(x - 5\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 9} - 1\right)}{x^{2} - 9} + \frac{2 x^{2} \cdot \left(3 x - 10\right)}{x^{2} - 9} - 3 x + 5\right)}{x^{2} - 9}\right) = \infty$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{2} = 3$$
- является точкой перегиба
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, 2 \cdot 2^{\frac{2}{3}} + 5 + 4 \cdot \sqrt[3]{2}\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[2 \cdot 2^{\frac{2}{3}} + 5 + 4 \cdot \sqrt[3]{2}, \infty\right)$$
Вертикальные асимптоты
Есть:
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 3$$
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 3$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- x^{3} + 5 x^{2}}{x^{2} - 9}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{3} + 5 x^{2}}{x^{2} - 9}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- x^{3} + 5 x^{2}}{x^{2} - 9}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{3} + 5 x^{2}}{x^{2} - 9}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (5*x^2 - x^3)/(x^2 - 1*9), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- x^{3} + 5 x^{2}}{x \left(x^{2} - 9\right)}\right) = -1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = - x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{3} + 5 x^{2}}{x \left(x^{2} - 9\right)}\right) = -1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = - x$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- x^{3} + 5 x^{2}}{x \left(x^{2} - 9\right)}\right) = -1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = - x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{3} + 5 x^{2}}{x \left(x^{2} - 9\right)}\right) = -1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = - x$$
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{- x^{3} + 5 x^{2}}{x^{2} - 9} = \frac{x^{3} + 5 x^{2}}{x^{2} - 9}$$
- Нет
$$\frac{- x^{3} + 5 x^{2}}{x^{2} - 9} = - \frac{x^{3} + 5 x^{2}}{x^{2} - 9}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$\frac{- x^{3} + 5 x^{2}}{x^{2} - 9} = \frac{x^{3} + 5 x^{2}}{x^{2} - 9}$$
- Нет
$$\frac{- x^{3} + 5 x^{2}}{x^{2} - 9} = - \frac{x^{3} + 5 x^{2}}{x^{2} - 9}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График