Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
-
x^3/3-x^2
-
3*x^5-20*x^3-5
-
16*x*(x-1)^3
-
(1/2)*(x^3+3*x^2-7)
-
Идентичные выражения
- x^ три - двадцать семь *x+ пятьдесят четыре /x^ три
- x в кубе минус 27 умножить на x плюс 54 делить на x в кубе
- x в степени три минус двадцать семь умножить на x плюс пятьдесят четыре делить на x в степени три
- x3-27*x+54/x3
- x³-27*x+54/x³
- x в степени 3-27*x+54/x в степени 3
- x^3-27x+54/x^3
- x3-27x+54/x3
- x^3-27*x+54 разделить на x^3
-
Похожие выражения
- x^3-27*x-54/x^3
- ((x^3-27*x+54)/(x^3))
- (x^3-27*x+54)/(x^3)
- x^3+27*x+54/x^3
- (x^3-27*x+54)/x^3
-
Что Вы имели ввиду?
- (x^3 - 27*x + 54)/(x^3)
- (x^3 - 27*x + 54)*3/x
- (x^3 - 27*x + 54)/(x^3)
- x*(3 - 27*x + 54)/(x^3)
- x*(3 - 27*x + 54)*3/x
- x*(3 - 27*x + 54)/(x^3)
- x^3 - 27*x + 54/(x^3)
Вы ввели:
x^3-27*x+54/x^3
Что Вы имели ввиду?
График функции y = x^3-27*x+54/x^3
Решение
Вы ввели
[src]
3 54
f(x) = x - 27*x + --
3
x
$$f{\left(x \right)} = x^{3} - 27 x + \frac{54}{x^{3}}$$
f = x^3 - 27*x + 54/(x^3)
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$3 x^{2} - 27 - \frac{162}{x^{4}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{3 + 3 \sqrt[3]{\sqrt{3} + 2} + 3 \left(\sqrt{3} + 2\right)^{\frac{2}{3}}}}{\sqrt[6]{\sqrt{3} + 2}}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{3 + 3 \sqrt[3]{\sqrt{3} + 2} + 3 \left(\sqrt{3} + 2\right)^{\frac{2}{3}}}}{\sqrt[6]{\sqrt{3} + 2}}$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{3 + 3 \sqrt[3]{\sqrt{3} + 2} + 3 \left(\sqrt{3} + 2\right)^{\frac{2}{3}}}}{\sqrt[6]{\sqrt{3} + 2}}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{3 + 3 \sqrt[3]{\sqrt{3} + 2} + 3 \left(\sqrt{3} + 2\right)^{\frac{2}{3}}}}{\sqrt[6]{\sqrt{3} + 2}}$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{3 + 3 \sqrt[3]{\sqrt{3} + 2} + 3 \left(\sqrt{3} + 2\right)^{\frac{2}{3}}}}{\sqrt[6]{\sqrt{3} + 2}}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{3 + 3 \sqrt[3]{\sqrt{3} + 2} + 3 \left(\sqrt{3} + 2\right)^{\frac{2}{3}}}}{\sqrt[6]{\sqrt{3} + 2}}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[- \frac{\sqrt{3 + 3 \sqrt[3]{\sqrt{3} + 2} + 3 \left(\sqrt{3} + 2\right)^{\frac{2}{3}}}}{\sqrt[6]{\sqrt{3} + 2}}, \frac{\sqrt{3 + 3 \sqrt[3]{\sqrt{3} + 2} + 3 \left(\sqrt{3} + 2\right)^{\frac{2}{3}}}}{\sqrt[6]{\sqrt{3} + 2}}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$3 x^{2} - 27 - \frac{162}{x^{4}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{3 + 3 \sqrt[3]{\sqrt{3} + 2} + 3 \left(\sqrt{3} + 2\right)^{\frac{2}{3}}}}{\sqrt[6]{\sqrt{3} + 2}}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{3 + 3 \sqrt[3]{\sqrt{3} + 2} + 3 \left(\sqrt{3} + 2\right)^{\frac{2}{3}}}}{\sqrt[6]{\sqrt{3} + 2}}$$
Зн. экстремумы в точках:
_________________________________________ 3/2 _________________________________________
/ ___________ 2/3 / ___________ 2/3\ ___________ / ___________ 2/3
/ 3 / ___ / ___ \ | 3 / ___ / ___ \ | / ___ / 3 / ___ / ___ \
-\/ 3 + 3*\/ \/ 3 + 2 + 3*\\/ 3 + 2/ \3 + 3*\/ \/ 3 + 2 + 3*\\/ 3 + 2/ / 54*\/ \/ 3 + 2 27*\/ 3 + 3*\/ \/ 3 + 2 + 3*\\/ 3 + 2/
(-----------------------------------------------, - -------------------------------------------- - -------------------------------------------- + ------------------------------------------------)
___________ ___________ 3/2 ___________
6 / ___ / ___ / ___________ 2/3\ 6 / ___
\/ \/ 3 + 2 \/ \/ 3 + 2 | 3 / ___ / ___ \ | \/ \/ 3 + 2
\3 + 3*\/ \/ 3 + 2 + 3*\\/ 3 + 2/ / _________________________________________ _________________________________________ 3/2
/ ___________ 2/3 / ___________ 2/3 ___________ / ___________ 2/3\
/ 3 / ___ / ___ \ / 3 / ___ / ___ \ / ___ | 3 / ___ / ___ \ |
\/ 3 + 3*\/ \/ 3 + 2 + 3*\\/ 3 + 2/ 27*\/ 3 + 3*\/ \/ 3 + 2 + 3*\\/ 3 + 2/ 54*\/ \/ 3 + 2 \3 + 3*\/ \/ 3 + 2 + 3*\\/ 3 + 2/ /
(---------------------------------------------, - ------------------------------------------------ + -------------------------------------------- + --------------------------------------------)
___________ ___________ 3/2 ___________
6 / ___ 6 / ___ / ___________ 2/3\ / ___
\/ \/ 3 + 2 \/ \/ 3 + 2 | 3 / ___ / ___ \ | \/ \/ 3 + 2
\3 + 3*\/ \/ 3 + 2 + 3*\\/ 3 + 2/ / Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{3 + 3 \sqrt[3]{\sqrt{3} + 2} + 3 \left(\sqrt{3} + 2\right)^{\frac{2}{3}}}}{\sqrt[6]{\sqrt{3} + 2}}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{3 + 3 \sqrt[3]{\sqrt{3} + 2} + 3 \left(\sqrt{3} + 2\right)^{\frac{2}{3}}}}{\sqrt[6]{\sqrt{3} + 2}}$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{3 + 3 \sqrt[3]{\sqrt{3} + 2} + 3 \left(\sqrt{3} + 2\right)^{\frac{2}{3}}}}{\sqrt[6]{\sqrt{3} + 2}}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{3 + 3 \sqrt[3]{\sqrt{3} + 2} + 3 \left(\sqrt{3} + 2\right)^{\frac{2}{3}}}}{\sqrt[6]{\sqrt{3} + 2}}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[- \frac{\sqrt{3 + 3 \sqrt[3]{\sqrt{3} + 2} + 3 \left(\sqrt{3} + 2\right)^{\frac{2}{3}}}}{\sqrt[6]{\sqrt{3} + 2}}, \frac{\sqrt{3 + 3 \sqrt[3]{\sqrt{3} + 2} + 3 \left(\sqrt{3} + 2\right)^{\frac{2}{3}}}}{\sqrt[6]{\sqrt{3} + 2}}\right]$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$6 \left(x + \frac{108}{x^{5}}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$6 \left(x + \frac{108}{x^{5}}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
Вертикальные асимптоты
Есть:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{3} - 27 x + \frac{54}{x^{3}}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{3} - 27 x + \frac{54}{x^{3}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{3} - 27 x + \frac{54}{x^{3}}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{3} - 27 x + \frac{54}{x^{3}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^3 - 27*x + 54/(x^3), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3} - 27 x + \frac{54}{x^{3}}}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} - 27 x + \frac{54}{x^{3}}}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3} - 27 x + \frac{54}{x^{3}}}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} - 27 x + \frac{54}{x^{3}}}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x^{3} - 27 x + \frac{54}{x^{3}} = - x^{3} + 27 x - \frac{54}{x^{3}}$$
- Нет
$$x^{3} - 27 x + \frac{54}{x^{3}} = x^{3} - 27 x + \frac{54}{x^{3}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$x^{3} - 27 x + \frac{54}{x^{3}} = - x^{3} + 27 x - \frac{54}{x^{3}}$$
- Нет
$$x^{3} - 27 x + \frac{54}{x^{3}} = x^{3} - 27 x + \frac{54}{x^{3}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной