Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
- x+(4/x)-4
- x^3/3-5*x^2/2+6*x-7
-
cos(1/x)^(2)
- 8/16-x2
- Производная:
- cos(1/x)^(2)
-
Идентичные выражения
- cos(один /x)^(два)
- косинус от (1 делить на x) в степени (2)
- косинус от (один делить на x) в степени (два)
- cos(1/x)(2)
- cos1/x2
- cos1/x^2
- cos(1 разделить на x)^(2)
График функции y = cos(1/x)^(2)
Решение
Вы ввели
[src]
2/ 1\
f(x) = cos |1*-|
\ x/
$$f{\left(x \right)} = \cos^{2}{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}$$
f = cos(1/x)^2
График функции
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\cos^{2}{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X
значит надо решить уравнение:
$$\cos^{2}{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{2 \sin{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)} \cos{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}{x^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = \frac{2}{3 \pi}$$
$$x_{2} = \frac{1}{\pi}$$
$$x_{3} = \frac{2}{\pi}$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{2}{3 \pi}$$
$$x_{2} = \frac{2}{\pi}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = \frac{1}{\pi}$$
Убывает на промежутках
$$\left[\frac{2}{3 \pi}, \frac{1}{\pi}\right] \cup \left[\frac{2}{\pi}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{2}{3 \pi}\right] \cup \left[\frac{1}{\pi}, \frac{2}{\pi}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{2 \sin{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)} \cos{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}{x^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = \frac{2}{3 \pi}$$
$$x_{2} = \frac{1}{\pi}$$
$$x_{3} = \frac{2}{\pi}$$
Зн. экстремумы в точках:
2 (----, 0) 3*pi
1 (--, 1) pi
2 (--, 0) pi
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{2}{3 \pi}$$
$$x_{2} = \frac{2}{\pi}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = \frac{1}{\pi}$$
Убывает на промежутках
$$\left[\frac{2}{3 \pi}, \frac{1}{\pi}\right] \cup \left[\frac{2}{\pi}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{2}{3 \pi}\right] \cup \left[\frac{1}{\pi}, \frac{2}{\pi}\right]$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{2 \left(- 2 \sin{\left(\frac{1}{x} \right)} \cos{\left(\frac{1}{x} \right)} + \frac{\sin^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x} - \frac{\cos^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x}\right)}{x^{3}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 2853.14522726108$$
$$x_{2} = -1512.15760097761$$
$$x_{3} = -4563.43214355915$$
$$x_{4} = -3037.36430751844$$
$$x_{5} = -2383.50191553707$$
$$x_{6} = -2601.43652007892$$
$$x_{7} = 7867.90110932129$$
$$x_{8} = 6123.47839909973$$
$$x_{9} = -10886.9796468819$$
$$x_{10} = -7179.96792970038$$
$$x_{11} = 2417.24851954184$$
$$x_{12} = -2165.5947429753$$
$$x_{13} = -7616.07774581822$$
$$x_{14} = -4345.40420079964$$
$$x_{15} = 6559.57713526949$$
$$x_{16} = -6089.71260352467$$
$$x_{17} = 1981.45962670866$$
$$x_{18} = 4597.19522099931$$
$$x_{19} = -3255.34961881752$$
$$x_{20} = 5687.38606619832$$
$$x_{21} = 6341.52704940556$$
$$x_{22} = 3943.1233196593$$
$$x_{23} = -3473.34561352013$$
$$x_{24} = 2635.18675646939$$
$$x_{25} = 3507.104196801$$
$$x_{26} = 3071.11960782687$$
$$x_{27} = 9394.31338230375$$
$$x_{28} = -9796.6677654438$$
$$x_{29} = 6777.62851803901$$
$$x_{30} = -8924.42517095214$$
$$x_{31} = 1545.87062038857$$
$$x_{32} = -4127.38073204553$$
$$x_{33} = -10014.7294575036$$
$$x_{34} = -4999.49910645863$$
$$x_{35} = 5469.34278007864$$
$$x_{36} = 2199.33656575618$$
$$x_{37} = 7213.73470357119$$
$$x_{38} = 4379.16664113042$$
$$x_{39} = 8958.19283020522$$
$$x_{40} = 10702.6847758977$$
$$x_{41} = -3909.36248726622$$
$$x_{42} = -5217.53719960639$$
$$x_{43} = -7398.02238592831$$
$$x_{44} = 5905.43134350286$$
$$x_{45} = -1947.72427584374$$
$$x_{46} = -1729.90450754707$$
$$x_{47} = 5033.26321765695$$
$$x_{48} = -9578.60646224368$$
$$x_{49} = -7834.13393387183$$
$$x_{50} = -6307.76101706377$$
$$x_{51} = -6525.81088945375$$
$$x_{52} = -3691.35039404942$$
$$x_{53} = 10048.4974515208$$
$$x_{54} = 4815.22757696356$$
$$x_{55} = 10484.6220103772$$
$$x_{56} = -5871.66581150411$$
$$x_{57} = 9612.3743359868$$
$$x_{58} = -6961.91446209839$$
$$x_{59} = 4161.14243190697$$
$$x_{60} = -5435.57787334662$$
$$x_{61} = 8085.95817086979$$
$$x_{62} = -9142.48513376114$$
$$x_{63} = -9360.54557508922$$
$$x_{64} = 1763.63079154054$$
$$x_{65} = -6743.86207908362$$
$$x_{66} = -5653.62082879211$$
$$x_{67} = 6995.6810763623$$
$$x_{68} = 3725.11020116718$$
$$x_{69} = 10920.7478395896$$
$$x_{70} = -4781.46394739085$$
$$x_{71} = -8270.24853231287$$
$$x_{72} = -10450.853910808$$
$$x_{73} = 7649.84479882467$$
$$x_{74} = 7431.7893055252$$
$$x_{75} = 5251.30173343893$$
$$x_{76} = -2819.39216648416$$
$$x_{77} = 3289.10672487821$$
$$x_{78} = 8304.01592427651$$
$$x_{79} = -10232.7915135555$$
$$x_{80} = -8488.30682846758$$
$$x_{81} = -10668.9166283335$$
$$x_{82} = 9176.25286963735$$
$$x_{83} = 10266.5595620332$$
$$x_{84} = -8052.19088277393$$
$$x_{85} = 8522.07431640944$$
$$x_{86} = -8706.36572263178$$
$$x_{87} = 8740.13329944166$$
$$x_{88} = 9830.43570132865$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{2 \left(- 2 \sin{\left(\frac{1}{x} \right)} \cos{\left(\frac{1}{x} \right)} + \frac{\sin^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x} - \frac{\cos^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x}\right)}{x^{3}}\right) = \infty \operatorname{sign}{\left(\left\langle -2, 2\right\rangle \right)}$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \left(- 2 \sin{\left(\frac{1}{x} \right)} \cos{\left(\frac{1}{x} \right)} + \frac{\sin^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x} - \frac{\cos^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x}\right)}{x^{3}}\right) = \infty \operatorname{sign}{\left(\left\langle -2, 2\right\rangle \right)}$$
Возьмём предел
- пределы равны, зн. пропускаем соответствующую точку
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Не имеет изгибов на всей числовой оси
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{2 \left(- 2 \sin{\left(\frac{1}{x} \right)} \cos{\left(\frac{1}{x} \right)} + \frac{\sin^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x} - \frac{\cos^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x}\right)}{x^{3}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 2853.14522726108$$
$$x_{2} = -1512.15760097761$$
$$x_{3} = -4563.43214355915$$
$$x_{4} = -3037.36430751844$$
$$x_{5} = -2383.50191553707$$
$$x_{6} = -2601.43652007892$$
$$x_{7} = 7867.90110932129$$
$$x_{8} = 6123.47839909973$$
$$x_{9} = -10886.9796468819$$
$$x_{10} = -7179.96792970038$$
$$x_{11} = 2417.24851954184$$
$$x_{12} = -2165.5947429753$$
$$x_{13} = -7616.07774581822$$
$$x_{14} = -4345.40420079964$$
$$x_{15} = 6559.57713526949$$
$$x_{16} = -6089.71260352467$$
$$x_{17} = 1981.45962670866$$
$$x_{18} = 4597.19522099931$$
$$x_{19} = -3255.34961881752$$
$$x_{20} = 5687.38606619832$$
$$x_{21} = 6341.52704940556$$
$$x_{22} = 3943.1233196593$$
$$x_{23} = -3473.34561352013$$
$$x_{24} = 2635.18675646939$$
$$x_{25} = 3507.104196801$$
$$x_{26} = 3071.11960782687$$
$$x_{27} = 9394.31338230375$$
$$x_{28} = -9796.6677654438$$
$$x_{29} = 6777.62851803901$$
$$x_{30} = -8924.42517095214$$
$$x_{31} = 1545.87062038857$$
$$x_{32} = -4127.38073204553$$
$$x_{33} = -10014.7294575036$$
$$x_{34} = -4999.49910645863$$
$$x_{35} = 5469.34278007864$$
$$x_{36} = 2199.33656575618$$
$$x_{37} = 7213.73470357119$$
$$x_{38} = 4379.16664113042$$
$$x_{39} = 8958.19283020522$$
$$x_{40} = 10702.6847758977$$
$$x_{41} = -3909.36248726622$$
$$x_{42} = -5217.53719960639$$
$$x_{43} = -7398.02238592831$$
$$x_{44} = 5905.43134350286$$
$$x_{45} = -1947.72427584374$$
$$x_{46} = -1729.90450754707$$
$$x_{47} = 5033.26321765695$$
$$x_{48} = -9578.60646224368$$
$$x_{49} = -7834.13393387183$$
$$x_{50} = -6307.76101706377$$
$$x_{51} = -6525.81088945375$$
$$x_{52} = -3691.35039404942$$
$$x_{53} = 10048.4974515208$$
$$x_{54} = 4815.22757696356$$
$$x_{55} = 10484.6220103772$$
$$x_{56} = -5871.66581150411$$
$$x_{57} = 9612.3743359868$$
$$x_{58} = -6961.91446209839$$
$$x_{59} = 4161.14243190697$$
$$x_{60} = -5435.57787334662$$
$$x_{61} = 8085.95817086979$$
$$x_{62} = -9142.48513376114$$
$$x_{63} = -9360.54557508922$$
$$x_{64} = 1763.63079154054$$
$$x_{65} = -6743.86207908362$$
$$x_{66} = -5653.62082879211$$
$$x_{67} = 6995.6810763623$$
$$x_{68} = 3725.11020116718$$
$$x_{69} = 10920.7478395896$$
$$x_{70} = -4781.46394739085$$
$$x_{71} = -8270.24853231287$$
$$x_{72} = -10450.853910808$$
$$x_{73} = 7649.84479882467$$
$$x_{74} = 7431.7893055252$$
$$x_{75} = 5251.30173343893$$
$$x_{76} = -2819.39216648416$$
$$x_{77} = 3289.10672487821$$
$$x_{78} = 8304.01592427651$$
$$x_{79} = -10232.7915135555$$
$$x_{80} = -8488.30682846758$$
$$x_{81} = -10668.9166283335$$
$$x_{82} = 9176.25286963735$$
$$x_{83} = 10266.5595620332$$
$$x_{84} = -8052.19088277393$$
$$x_{85} = 8522.07431640944$$
$$x_{86} = -8706.36572263178$$
$$x_{87} = 8740.13329944166$$
$$x_{88} = 9830.43570132865$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{2 \left(- 2 \sin{\left(\frac{1}{x} \right)} \cos{\left(\frac{1}{x} \right)} + \frac{\sin^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x} - \frac{\cos^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x}\right)}{x^{3}}\right) = \infty \operatorname{sign}{\left(\left\langle -2, 2\right\rangle \right)}$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \left(- 2 \sin{\left(\frac{1}{x} \right)} \cos{\left(\frac{1}{x} \right)} + \frac{\sin^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x} - \frac{\cos^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x}\right)}{x^{3}}\right) = \infty \operatorname{sign}{\left(\left\langle -2, 2\right\rangle \right)}$$
Возьмём предел
- пределы равны, зн. пропускаем соответствующую точку
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Не имеет изгибов на всей числовой оси
Вертикальные асимптоты
Есть:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \cos^{2}{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)} = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty} \cos^{2}{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)} = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to -\infty} \cos^{2}{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)} = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty} \cos^{2}{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)} = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 1$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции cos(1/x)^2, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos^{2}{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos^{2}{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos^{2}{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos^{2}{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\cos^{2}{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)} = \cos^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)}$$
- Нет
$$\cos^{2}{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)} = - \cos^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$\cos^{2}{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)} = \cos^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)}$$
- Нет
$$\cos^{2}{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)} = - \cos^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График