Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
-
-9*x^3+3*x^2+9
-
(2-3*x)/x^2
-
x^4-4*x^2+3
- sqrt((9-x^2)*(x^2-4))
- Интеграл d{x}:
-
x^3/(x^2+4)
- Производная:
-
x^3/(x^2+4)
-
Идентичные выражения
- x^ три /(x^ два + четыре)
- x в кубе делить на (x в квадрате плюс 4)
- x в степени три делить на (x в степени два плюс четыре)
- x3/(x2+4)
- x3/x2+4
- x³/(x²+4)
- x в степени 3/(x в степени 2+4)
- x^3/x^2+4
- x^3 разделить на (x^2+4)
-
Похожие выражения
- (x^3)/(x^2+4)
- x^3/(x^2-4)
-
Что Вы имели ввиду?
- x^3/(x^2 + 4)
- x^3/(x^2) + 4
- x^3*2/x + 4
- x^3/(x^2) + 4
- x*3/(x^2 + 4)
- x*3/x^2 + 4
- x^3/(x^2) + 4
Вы ввели:
x^3/(x^2+4)
Что Вы имели ввиду?
График функции y = x^3/(x^2+4)
Решение
Вы ввели
[src]
3
x
f(x) = ------
2
x + 4
$$f{\left(x \right)} = \frac{x^{3}}{x^{2} + 4}$$
f = x^3/(x^2 + 4)
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x^{3}}{x^{2} + 4} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = -5.49867674696395 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{2} = 0.000128299061584251$$
$$x_{3} = 7.50781339760856 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{4} = -7.55768917860327 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{5} = 5.69341614825227 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{6} = -3.14734193089338 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{7} = -4.75374956187171 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{8} = 4.29778716516861 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{9} = 0$$
$$x_{10} = -5.72235213719603 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{11} = 4.89910807025086 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{12} = -8.9828855739031 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{13} = -7.17590638525657 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{14} = -2.7717206048118 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{15} = -3.45962692510527 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{16} = -2.94765552532521 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{17} = 0.0001016887283984$$
$$x_{18} = -7.98119157063984 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{19} = 9.50143089069116 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{20} = 3.21076076734212 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{21} = 8.91322840925282 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{22} = -5.96471116629813 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{23} = -0.000129688663181593$$
$$x_{24} = 4.57896165739661 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{25} = 3.82713833225889 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{26} = 0.00010931646438271$$
$$x_{27} = 2.93988173886062 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{28} = 5.47192535578397 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{29} = 6.19397930109581 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{30} = -4.18527055073238 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{31} = 6.47817008924927 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{32} = 7.92574705708218 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{33} = -9.58023232721497 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{34} = 4.16967242103615 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{35} = -6.51550471215804 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{36} = -2.82799250774924 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{37} = -4.5977508284023 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{38} = 2.87913213035809 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{39} = -0.000156262024197071$$
$$x_{40} = 0.000154326187762615$$
$$x_{41} = -3.64008784418504 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{42} = 3.28642845401192 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{43} = 2.82083428973869 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{44} = 3.13848520691118 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{45} = 6.78915515621741 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{46} = -4.92059503428542 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{47} = -3.37591319804904 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{48} = -6.2281547293244 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{49} = 5.93331617711257 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{50} = 0.000118100701968265$$
$$x_{51} = -2.88658864658844 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{52} = 0.000171059280390247$$
$$x_{53} = 5.07638955361218 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{54} = 3.93492857486078 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{55} = -0.000119292177734191$$
$$x_{56} = -3.22002894324015 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{57} = 3.36573165079009 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{58} = -3.73752537091515 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{59} = -0.000141871989242273$$
$$x_{60} = 4.73367865026443 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{61} = 3.72506299350091 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{62} = -3.01135217671381 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{63} = -0.000110346536213428$$
$$x_{64} = -5.09944608833569 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{65} = 2.76484319132029 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{66} = 3.4489374740884 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{67} = 0.000140237917621246$$
$$x_{68} = 3.00324051080407 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{69} = 4.43395775860012 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{70} = -3.29613729803071 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{71} = -3.94882801309261 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{72} = -6.83009806075669 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{73} = 3.06937955369997 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{74} = 3.62826226829512 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{75} = -8.45340140186436 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{76} = -0.000102586341189983$$
$$x_{77} = -4.31435289031224 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{78} = -3.07785152519525 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{79} = -5.29163055499677 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{80} = 5.26682821504776 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{81} = -4.45158317953125 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{82} = 8.39143612380881 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{83} = 4.04892405715057 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{84} = 3.53633972146319 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{85} = -3.84029003142877 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{86} = -3.54757584071883 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{87} = 7.13081918177641 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{88} = -4.06363639379563 \cdot 10^{-5}$$
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x^{3}}{x^{2} + 4} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = -5.49867674696395 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{2} = 0.000128299061584251$$
$$x_{3} = 7.50781339760856 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{4} = -7.55768917860327 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{5} = 5.69341614825227 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{6} = -3.14734193089338 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{7} = -4.75374956187171 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{8} = 4.29778716516861 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{9} = 0$$
$$x_{10} = -5.72235213719603 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{11} = 4.89910807025086 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{12} = -8.9828855739031 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{13} = -7.17590638525657 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{14} = -2.7717206048118 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{15} = -3.45962692510527 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{16} = -2.94765552532521 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{17} = 0.0001016887283984$$
$$x_{18} = -7.98119157063984 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{19} = 9.50143089069116 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{20} = 3.21076076734212 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{21} = 8.91322840925282 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{22} = -5.96471116629813 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{23} = -0.000129688663181593$$
$$x_{24} = 4.57896165739661 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{25} = 3.82713833225889 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{26} = 0.00010931646438271$$
$$x_{27} = 2.93988173886062 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{28} = 5.47192535578397 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{29} = 6.19397930109581 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{30} = -4.18527055073238 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{31} = 6.47817008924927 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{32} = 7.92574705708218 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{33} = -9.58023232721497 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{34} = 4.16967242103615 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{35} = -6.51550471215804 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{36} = -2.82799250774924 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{37} = -4.5977508284023 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{38} = 2.87913213035809 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{39} = -0.000156262024197071$$
$$x_{40} = 0.000154326187762615$$
$$x_{41} = -3.64008784418504 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{42} = 3.28642845401192 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{43} = 2.82083428973869 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{44} = 3.13848520691118 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{45} = 6.78915515621741 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{46} = -4.92059503428542 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{47} = -3.37591319804904 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{48} = -6.2281547293244 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{49} = 5.93331617711257 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{50} = 0.000118100701968265$$
$$x_{51} = -2.88658864658844 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{52} = 0.000171059280390247$$
$$x_{53} = 5.07638955361218 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{54} = 3.93492857486078 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{55} = -0.000119292177734191$$
$$x_{56} = -3.22002894324015 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{57} = 3.36573165079009 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{58} = -3.73752537091515 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{59} = -0.000141871989242273$$
$$x_{60} = 4.73367865026443 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{61} = 3.72506299350091 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{62} = -3.01135217671381 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{63} = -0.000110346536213428$$
$$x_{64} = -5.09944608833569 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{65} = 2.76484319132029 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{66} = 3.4489374740884 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{67} = 0.000140237917621246$$
$$x_{68} = 3.00324051080407 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{69} = 4.43395775860012 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{70} = -3.29613729803071 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{71} = -3.94882801309261 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{72} = -6.83009806075669 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{73} = 3.06937955369997 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{74} = 3.62826226829512 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{75} = -8.45340140186436 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{76} = -0.000102586341189983$$
$$x_{77} = -4.31435289031224 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{78} = -3.07785152519525 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{79} = -5.29163055499677 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{80} = 5.26682821504776 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{81} = -4.45158317953125 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{82} = 8.39143612380881 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{83} = 4.04892405715057 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{84} = 3.53633972146319 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{85} = -3.84029003142877 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{86} = -3.54757584071883 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{87} = 7.13081918177641 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{88} = -4.06363639379563 \cdot 10^{-5}$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{2 x^{4}}{\left(x^{2} + 4\right)^{2}} + \frac{3 x^{2}}{x^{2} + 4} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумов у функции нет
Возрастает на всей числовой оси
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{2 x^{4}}{\left(x^{2} + 4\right)^{2}} + \frac{3 x^{2}}{x^{2} + 4} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
Зн. экстремумы в точках:
(0, 0)
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумов у функции нет
Возрастает на всей числовой оси
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{2 x \left(\frac{x^{2} \cdot \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} + 4} - 1\right)}{x^{2} + 4} - \frac{6 x^{2}}{x^{2} + 4} + 3\right)}{x^{2} + 4} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - 2 \sqrt{3}$$
$$x_{3} = 2 \sqrt{3}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, - 2 \sqrt{3}\right] \cup \left[0, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[2 \sqrt{3}, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{2 x \left(\frac{x^{2} \cdot \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} + 4} - 1\right)}{x^{2} + 4} - \frac{6 x^{2}}{x^{2} + 4} + 3\right)}{x^{2} + 4} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - 2 \sqrt{3}$$
$$x_{3} = 2 \sqrt{3}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, - 2 \sqrt{3}\right] \cup \left[0, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[2 \sqrt{3}, \infty\right)$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3}}{x^{2} + 4}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3}}{x^{2} + 4}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3}}{x^{2} + 4}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3}}{x^{2} + 4}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^3/(x^2 + 4), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2}}{x^{2} + 4}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2}}{x^{2} + 4}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2}}{x^{2} + 4}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2}}{x^{2} + 4}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x$$
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x^{3}}{x^{2} + 4} = - \frac{x^{3}}{x^{2} + 4}$$
- Нет
$$\frac{x^{3}}{x^{2} + 4} = \frac{x^{3}}{x^{2} + 4}$$
- Да
значит, функция
является
нечётной
Итак, проверяем:
$$\frac{x^{3}}{x^{2} + 4} = - \frac{x^{3}}{x^{2} + 4}$$
- Нет
$$\frac{x^{3}}{x^{2} + 4} = \frac{x^{3}}{x^{2} + 4}$$
- Да
значит, функция
является
нечётной
График