Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
-
-9*x^3+3*x^2+9
-
(2-3*x)/x^2
-
x^4-4*x^2+3
- sqrt((9-x^2)*(x^2-4))
-
Идентичные выражения
- sqrt((девять -x^ два)*(x^ два - четыре))
- квадратный корень из ((9 минус x в квадрате ) умножить на (x в квадрате минус 4))
- квадратный корень из ((девять минус x в степени два) умножить на (x в степени два минус четыре))
- √((9-x^2)*(x^2-4))
- sqrt((9-x2)*(x2-4))
- sqrt9-x2*x2-4
- sqrt((9-x²)*(x²-4))
- sqrt((9-x в степени 2)*(x в степени 2-4))
- sqrt((9-x^2)(x^2-4))
- sqrt((9-x2)(x2-4))
- sqrt9-x2x2-4
- sqrt9-x^2x^2-4
-
Похожие выражения
- sqrt((9-x^2)*(x^2+4))
- sqrt((9+x^2)*(x^2-4))
График функции y = sqrt((9-x^2)*(x^2-4))
Решение
Вы ввели
[src]
___________________
/ / 2\ / 2 \
f(x) = \/ \9 - x /*\x - 4/
$$f{\left(x \right)} = \sqrt{\left(- x^{2} + 9\right) \left(x^{2} - 4\right)}$$
f = sqrt((9 - x^2)*(x^2 - 1*4))
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\sqrt{\left(- x^{2} + 9\right) \left(x^{2} - 4\right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = -2$$
$$x_{3} = 2$$
$$x_{4} = 3$$
Численное решение
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = -2$$
$$x_{3} = 2$$
$$x_{4} = 3$$
значит надо решить уравнение:
$$\sqrt{\left(- x^{2} + 9\right) \left(x^{2} - 4\right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = -2$$
$$x_{3} = 2$$
$$x_{4} = 3$$
Численное решение
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = -2$$
$$x_{3} = 2$$
$$x_{4} = 3$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{\sqrt{\left(- x^{2} + 9\right) \left(x^{2} - 4\right)} \left(x \left(- x^{2} + 9\right) - x \left(x^{2} - 4\right)\right)}{\left(- x^{2} + 9\right) \left(x^{2} - 4\right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{26}}{2}$$
$$x_{3} = \frac{\sqrt{26}}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{3} = - \frac{\sqrt{26}}{2}$$
$$x_{3} = \frac{\sqrt{26}}{2}$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{26}}{2}\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left[\frac{\sqrt{26}}{2}, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{\sqrt{\left(- x^{2} + 9\right) \left(x^{2} - 4\right)} \left(x \left(- x^{2} + 9\right) - x \left(x^{2} - 4\right)\right)}{\left(- x^{2} + 9\right) \left(x^{2} - 4\right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{26}}{2}$$
$$x_{3} = \frac{\sqrt{26}}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:
(0, 6*I)
____
-\/ 26 _______________
(--------, \/ -5/2*4 + 65/4 )
2 ____ \/ 26 _______________ (------, \/ -5/2*4 + 65/4 ) 2
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{3} = - \frac{\sqrt{26}}{2}$$
$$x_{3} = \frac{\sqrt{26}}{2}$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{26}}{2}\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left[\frac{\sqrt{26}}{2}, \infty\right)$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{\sqrt{- \left(x^{2} - 9\right) \left(x^{2} - 4\right)} \left(6 x^{2} - \frac{2 x^{2} \cdot \left(2 x^{2} - 13\right)}{x^{2} - 4} - \frac{2 x^{2} \cdot \left(2 x^{2} - 13\right)}{x^{2} - 9} + \frac{x^{2} \left(2 x^{2} - 13\right)^{2}}{\left(x^{2} - 9\right) \left(x^{2} - 4\right)} - 13\right)}{\left(x^{2} - 9\right) \left(x^{2} - 4\right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = -3.49813503681579$$
$$x_{2} = 3.49813503681579$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Не имеет изгибов на всей числовой оси
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{\sqrt{- \left(x^{2} - 9\right) \left(x^{2} - 4\right)} \left(6 x^{2} - \frac{2 x^{2} \cdot \left(2 x^{2} - 13\right)}{x^{2} - 4} - \frac{2 x^{2} \cdot \left(2 x^{2} - 13\right)}{x^{2} - 9} + \frac{x^{2} \left(2 x^{2} - 13\right)^{2}}{\left(x^{2} - 9\right) \left(x^{2} - 4\right)} - 13\right)}{\left(x^{2} - 9\right) \left(x^{2} - 4\right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = -3.49813503681579$$
$$x_{2} = 3.49813503681579$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Не имеет изгибов на всей числовой оси
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \sqrt{\left(- x^{2} + 9\right) \left(x^{2} - 4\right)} = \infty i$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty} \sqrt{\left(- x^{2} + 9\right) \left(x^{2} - 4\right)} = \infty i$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty} \sqrt{\left(- x^{2} + 9\right) \left(x^{2} - 4\right)} = \infty i$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty} \sqrt{\left(- x^{2} + 9\right) \left(x^{2} - 4\right)} = \infty i$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sqrt((9 - x^2)*(x^2 - 1*4)), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{\left(- x^{2} + 9\right) \left(x^{2} - 4\right)}}{x}\right) = - \infty i$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{\left(- x^{2} + 9\right) \left(x^{2} - 4\right)}}{x}\right) = \infty i$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{\left(- x^{2} + 9\right) \left(x^{2} - 4\right)}}{x}\right) = - \infty i$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{\left(- x^{2} + 9\right) \left(x^{2} - 4\right)}}{x}\right) = \infty i$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\sqrt{\left(- x^{2} + 9\right) \left(x^{2} - 4\right)} = \sqrt{\left(- x^{2} + 9\right) \left(x^{2} - 4\right)}$$
- Да
$$\sqrt{\left(- x^{2} + 9\right) \left(x^{2} - 4\right)} = - \sqrt{\left(- x^{2} + 9\right) \left(x^{2} - 4\right)}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной
Итак, проверяем:
$$\sqrt{\left(- x^{2} + 9\right) \left(x^{2} - 4\right)} = \sqrt{\left(- x^{2} + 9\right) \left(x^{2} - 4\right)}$$
- Да
$$\sqrt{\left(- x^{2} + 9\right) \left(x^{2} - 4\right)} = - \sqrt{\left(- x^{2} + 9\right) \left(x^{2} - 4\right)}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной