Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
-
3*x+5
-
5^cos(2*x)
-
x^2+7*x+16
-
(2*x^3-15*x^2+36*x)
- Производная:
-
x^3/(x^2-16)
-
Идентичные выражения
- x^ три /(x^ два - шестнадцать)
- x в кубе делить на (x в квадрате минус 16)
- x в степени три делить на (x в степени два минус шестнадцать)
- x3/(x2-16)
- x3/x2-16
- x³/(x²-16)
- x в степени 3/(x в степени 2-16)
- x^3/x^2-16
- x^3 разделить на (x^2-16)
-
Похожие выражения
- x^3/(x^2+16)
-
Что Вы имели ввиду?
- x^3/(x^2 - 1*16)
- x^3/(x^2) - 1*16
- x^3*2/x - 1*16
- x^3/(x^2) - 1*16
- x*3/(x^2 - 1*16)
- x*3/x^2 - 1*16
- x^3/(x^2) - 1*16
Вы ввели:
x^3/(x^2-16)
Что Вы имели ввиду?
График функции y = x^3/(x^2-16)
Решение
Вы ввели
[src]
3
x
f(x) = -------
2
x - 16
$$f{\left(x \right)} = \frac{x^{3}}{x^{2} - 16}$$
f = x^3/(x^2 - 1*16)
График функции
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = -4$$
$$x_{2} = 4$$
$$x_{1} = -4$$
$$x_{2} = 4$$
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x^{3}}{x^{2} - 16} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 0.000245814204482574$$
$$x_{2} = 0.000145685617044736$$
$$x_{3} = 0.000128513660775936$$
$$x_{4} = -0.000198611532703511$$
$$x_{5} = -0.000122399893221679$$
$$x_{6} = 0.000120050623293592$$
$$x_{7} = -0.000125201704382163$$
$$x_{8} = 0.000199538360490637$$
$$x_{9} = 0.000149698095118871$$
$$x_{10} = 0.000125561115257514$$
$$x_{11} = 0.000158441708425162$$
$$x_{12} = 0.000185705694084853$$
$$x_{13} = -0.000206286307860574$$
$$x_{14} = -0.000191505860120859$$
$$x_{15} = -0.000167646593861226$$
$$x_{16} = 0.00017371668564729$$
$$x_{17} = -0.000178759997618509$$
$$x_{18} = 0.000168299456415775$$
$$x_{19} = 0.00013414831342053$$
$$x_{20} = -0.000269621541739519$$
$$x_{21} = -0.000153399002693746$$
$$x_{22} = -0.000137847169884503$$
$$x_{23} = -0.000114708607743972$$
$$x_{24} = 0.000179505202373416$$
$$x_{25} = 0.000271384207567712$$
$$x_{26} = -0.000119722457995554$$
$$x_{27} = -0.000117161193222179$$
$$x_{28} = 0.000141886681762904$$
$$x_{29} = -0.00014918423151878$$
$$x_{30} = 0.000117475260747279$$
$$x_{31} = 0.00011500947755429$$
$$x_{32} = -0.000173019999510534$$
$$x_{33} = -0.000131215391857321$$
$$x_{34} = 0$$
$$x_{35} = -0.000233536604872456$$
$$x_{36} = -0.000157864706287385$$
$$x_{37} = -0.000145199436539694$$
$$x_{38} = -0.000141425968046386$$
$$x_{39} = 0.000207289213929819$$
$$x_{40} = -0.000256347692919678$$
$$x_{41} = 0.000224839945283934$$
$$x_{42} = 0.00011264634420741$$
$$x_{43} = 0.000163218115841497$$
$$x_{44} = -0.00024438330896481$$
$$x_{45} = -0.000112357847886813$$
$$x_{46} = -0.000223652498074164$$
$$x_{47} = -0.000184906561870643$$
$$x_{48} = 7.5737739318229 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{49} = 0.000138284399225553$$
$$x_{50} = 0.000257930921645102$$
$$x_{51} = -0.000128136899647539$$
$$x_{52} = -0.000162604979845525$$
$$x_{53} = 0.000122743141220963$$
$$x_{54} = 0.000234836927809519$$
$$x_{55} = 0.000215693193102051$$
$$x_{56} = 0.000153943035752931$$
$$x_{57} = -0.000134448116655563$$
$$x_{58} = 0.000131610811643761$$
$$x_{59} = -0.00021460406469673$$
$$x_{60} = 0.000192365186774099$$
$$x_{61} = 0.000134863640583584$$
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x^{3}}{x^{2} - 16} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 0.000245814204482574$$
$$x_{2} = 0.000145685617044736$$
$$x_{3} = 0.000128513660775936$$
$$x_{4} = -0.000198611532703511$$
$$x_{5} = -0.000122399893221679$$
$$x_{6} = 0.000120050623293592$$
$$x_{7} = -0.000125201704382163$$
$$x_{8} = 0.000199538360490637$$
$$x_{9} = 0.000149698095118871$$
$$x_{10} = 0.000125561115257514$$
$$x_{11} = 0.000158441708425162$$
$$x_{12} = 0.000185705694084853$$
$$x_{13} = -0.000206286307860574$$
$$x_{14} = -0.000191505860120859$$
$$x_{15} = -0.000167646593861226$$
$$x_{16} = 0.00017371668564729$$
$$x_{17} = -0.000178759997618509$$
$$x_{18} = 0.000168299456415775$$
$$x_{19} = 0.00013414831342053$$
$$x_{20} = -0.000269621541739519$$
$$x_{21} = -0.000153399002693746$$
$$x_{22} = -0.000137847169884503$$
$$x_{23} = -0.000114708607743972$$
$$x_{24} = 0.000179505202373416$$
$$x_{25} = 0.000271384207567712$$
$$x_{26} = -0.000119722457995554$$
$$x_{27} = -0.000117161193222179$$
$$x_{28} = 0.000141886681762904$$
$$x_{29} = -0.00014918423151878$$
$$x_{30} = 0.000117475260747279$$
$$x_{31} = 0.00011500947755429$$
$$x_{32} = -0.000173019999510534$$
$$x_{33} = -0.000131215391857321$$
$$x_{34} = 0$$
$$x_{35} = -0.000233536604872456$$
$$x_{36} = -0.000157864706287385$$
$$x_{37} = -0.000145199436539694$$
$$x_{38} = -0.000141425968046386$$
$$x_{39} = 0.000207289213929819$$
$$x_{40} = -0.000256347692919678$$
$$x_{41} = 0.000224839945283934$$
$$x_{42} = 0.00011264634420741$$
$$x_{43} = 0.000163218115841497$$
$$x_{44} = -0.00024438330896481$$
$$x_{45} = -0.000112357847886813$$
$$x_{46} = -0.000223652498074164$$
$$x_{47} = -0.000184906561870643$$
$$x_{48} = 7.5737739318229 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{49} = 0.000138284399225553$$
$$x_{50} = 0.000257930921645102$$
$$x_{51} = -0.000128136899647539$$
$$x_{52} = -0.000162604979845525$$
$$x_{53} = 0.000122743141220963$$
$$x_{54} = 0.000234836927809519$$
$$x_{55} = 0.000215693193102051$$
$$x_{56} = 0.000153943035752931$$
$$x_{57} = -0.000134448116655563$$
$$x_{58} = 0.000131610811643761$$
$$x_{59} = -0.00021460406469673$$
$$x_{60} = 0.000192365186774099$$
$$x_{61} = 0.000134863640583584$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{2 x^{4}}{\left(x^{2} - 16\right)^{2}} + \frac{3 x^{2}}{x^{2} - 16} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - 4 \sqrt{3}$$
$$x_{3} = 4 \sqrt{3}$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 4 \sqrt{3}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = - 4 \sqrt{3}$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, - 4 \sqrt{3}\right] \cup \left[4 \sqrt{3}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[- 4 \sqrt{3}, 4 \sqrt{3}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{2 x^{4}}{\left(x^{2} - 16\right)^{2}} + \frac{3 x^{2}}{x^{2} - 16} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - 4 \sqrt{3}$$
$$x_{3} = 4 \sqrt{3}$$
Зн. экстремумы в точках:
(0, 0)
___
___ -192*\/ 3
(-4*\/ 3, -----------)
-16 + 48 ___
___ 192*\/ 3
(4*\/ 3, ---------)
-16 + 48 Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 4 \sqrt{3}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = - 4 \sqrt{3}$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, - 4 \sqrt{3}\right] \cup \left[4 \sqrt{3}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[- 4 \sqrt{3}, 4 \sqrt{3}\right]$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{2 x \left(\frac{x^{2} \cdot \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 16} - 1\right)}{x^{2} - 16} - \frac{6 x^{2}}{x^{2} - 16} + 3\right)}{x^{2} - 16} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = -4$$
$$x_{2} = 4$$
$$\lim_{x \to -4^-}\left(\frac{2 x \left(\frac{x^{2} \cdot \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 16} - 1\right)}{x^{2} - 16} - \frac{6 x^{2}}{x^{2} - 16} + 3\right)}{x^{2} - 16}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to -4^+}\left(\frac{2 x \left(\frac{x^{2} \cdot \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 16} - 1\right)}{x^{2} - 16} - \frac{6 x^{2}}{x^{2} - 16} + 3\right)}{x^{2} - 16}\right) = \infty$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = -4$$
- является точкой перегиба
$$\lim_{x \to 4^-}\left(\frac{2 x \left(\frac{x^{2} \cdot \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 16} - 1\right)}{x^{2} - 16} - \frac{6 x^{2}}{x^{2} - 16} + 3\right)}{x^{2} - 16}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 4^+}\left(\frac{2 x \left(\frac{x^{2} \cdot \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 16} - 1\right)}{x^{2} - 16} - \frac{6 x^{2}}{x^{2} - 16} + 3\right)}{x^{2} - 16}\right) = \infty$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{2} = 4$$
- является точкой перегиба
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[0, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{2 x \left(\frac{x^{2} \cdot \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 16} - 1\right)}{x^{2} - 16} - \frac{6 x^{2}}{x^{2} - 16} + 3\right)}{x^{2} - 16} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = -4$$
$$x_{2} = 4$$
$$\lim_{x \to -4^-}\left(\frac{2 x \left(\frac{x^{2} \cdot \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 16} - 1\right)}{x^{2} - 16} - \frac{6 x^{2}}{x^{2} - 16} + 3\right)}{x^{2} - 16}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to -4^+}\left(\frac{2 x \left(\frac{x^{2} \cdot \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 16} - 1\right)}{x^{2} - 16} - \frac{6 x^{2}}{x^{2} - 16} + 3\right)}{x^{2} - 16}\right) = \infty$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = -4$$
- является точкой перегиба
$$\lim_{x \to 4^-}\left(\frac{2 x \left(\frac{x^{2} \cdot \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 16} - 1\right)}{x^{2} - 16} - \frac{6 x^{2}}{x^{2} - 16} + 3\right)}{x^{2} - 16}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 4^+}\left(\frac{2 x \left(\frac{x^{2} \cdot \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 16} - 1\right)}{x^{2} - 16} - \frac{6 x^{2}}{x^{2} - 16} + 3\right)}{x^{2} - 16}\right) = \infty$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{2} = 4$$
- является точкой перегиба
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[0, \infty\right)$$
Вертикальные асимптоты
Есть:
$$x_{1} = -4$$
$$x_{2} = 4$$
$$x_{1} = -4$$
$$x_{2} = 4$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3}}{x^{2} - 16}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3}}{x^{2} - 16}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3}}{x^{2} - 16}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3}}{x^{2} - 16}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^3/(x^2 - 1*16), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2}}{x^{2} - 16}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2}}{x^{2} - 16}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2}}{x^{2} - 16}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2}}{x^{2} - 16}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x$$
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x^{3}}{x^{2} - 16} = - \frac{x^{3}}{x^{2} - 16}$$
- Нет
$$\frac{x^{3}}{x^{2} - 16} = \frac{x^{3}}{x^{2} - 16}$$
- Да
значит, функция
является
нечётной
Итак, проверяем:
$$\frac{x^{3}}{x^{2} - 16} = - \frac{x^{3}}{x^{2} - 16}$$
- Нет
$$\frac{x^{3}}{x^{2} - 16} = \frac{x^{3}}{x^{2} - 16}$$
- Да
значит, функция
является
нечётной
График