Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
- sin(x)+1/3*sin(3*x)
- (sin(x))^3+(cos(x))^3
-
sqrt(9*x)^2-1
-
5/(sin(x)-1/2)
-
Идентичные выражения
- (x^ два +x)*(x- два)
- (x в квадрате плюс x) умножить на (x минус 2)
- (x в степени два плюс x) умножить на (x минус два)
- (x2+x)*(x-2)
- x2+x*x-2
- (x²+x)*(x-2)
- (x в степени 2+x)*(x-2)
- (x^2+x)(x-2)
- (x2+x)(x-2)
- x2+xx-2
- x^2+xx-2
-
Похожие выражения
- (x^2-x)*(x-2)
- (x^2+x)*(x+2)
График функции y = (x^2+x)*(x-2)
Решение
Вы ввели
[src]
/ 2 \ f(x) = \x + x/*(x - 2)
$$f{\left(x \right)} = \left(x - 2\right) \left(x^{2} + x\right)$$
f = (x - 1*2)*(x^2 + x)
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\left(x - 2\right) \left(x^{2} + x\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 2$$
Численное решение
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = -1$$
значит надо решить уравнение:
$$\left(x - 2\right) \left(x^{2} + x\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 2$$
Численное решение
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = -1$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$x^{2} + \left(x - 2\right) \left(2 x + 1\right) + x = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{7}}{3} + \frac{1}{3}$$
$$x_{2} = \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{7}}{3}$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{7}}{3}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{7}}{3} + \frac{1}{3}$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{7}}{3} + \frac{1}{3}\right] \cup \left[\frac{1}{3} + \frac{\sqrt{7}}{3}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[- \frac{\sqrt{7}}{3} + \frac{1}{3}, \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{7}}{3}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$x^{2} + \left(x - 2\right) \left(2 x + 1\right) + x = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{7}}{3} + \frac{1}{3}$$
$$x_{2} = \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{7}}{3}$$
Зн. экстремумы в точках:
/ 2 \
___ / ___ \ | ___ / ___ \ |
\/ 7 1 | \/ 7 1| | \/ 7 | \/ 7 1| 1|
(- ----- + -, |-2 - ----- + -|*|- ----- + |- ----- + -| + -|)
3 3 \ 3 3/ \ 3 \ 3 3/ 3/ / 2\
___ / ___\ | ___ / ___\ |
1 \/ 7 | 1 \/ 7 | |1 \/ 7 |1 \/ 7 | |
(- + -----, |-2 + - + -----|*|- + ----- + |- + -----| |)
3 3 \ 3 3 / \3 3 \3 3 / / Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{7}}{3}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{7}}{3} + \frac{1}{3}$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{7}}{3} + \frac{1}{3}\right] \cup \left[\frac{1}{3} + \frac{\sqrt{7}}{3}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[- \frac{\sqrt{7}}{3} + \frac{1}{3}, \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{7}}{3}\right]$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$2 \cdot \left(3 x - 1\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = \frac{1}{3}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[\frac{1}{3}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{1}{3}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$2 \cdot \left(3 x - 1\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = \frac{1}{3}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[\frac{1}{3}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{1}{3}\right]$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x - 2\right) \left(x^{2} + x\right)\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(x - 2\right) \left(x^{2} + x\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x - 2\right) \left(x^{2} + x\right)\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(x - 2\right) \left(x^{2} + x\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x^2 + x)*(x - 1*2), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x - 2\right) \left(x^{2} + x\right)}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - 2\right) \left(x^{2} + x\right)}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x - 2\right) \left(x^{2} + x\right)}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - 2\right) \left(x^{2} + x\right)}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\left(x - 2\right) \left(x^{2} + x\right) = \left(- x - 2\right) \left(x^{2} - x\right)$$
- Нет
$$\left(x - 2\right) \left(x^{2} + x\right) = - \left(- x - 2\right) \left(x^{2} - x\right)$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$\left(x - 2\right) \left(x^{2} + x\right) = \left(- x - 2\right) \left(x^{2} - x\right)$$
- Нет
$$\left(x - 2\right) \left(x^{2} + x\right) = - \left(- x - 2\right) \left(x^{2} - x\right)$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График