Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная$$\frac{2 x + 2}{x - 1} - \frac{x^{2} + 2 x + 3}{\left(x - 1\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнениеКорни этого уравнения
$$x_{1} = - \sqrt{6} + 1$$
$$x_{2} = 1 + \sqrt{6}$$
Зн. экстремумы в точках:
2
___ / ___ \
___ - 2*\/ 6 + \- \/ 6 + 1/ + 5
(- \/ 6 + 1, ------------------------------)
___
- \/ 6 - 1 + 1
2
___ / ___\
___ 2*\/ 6 + 5 + \1 + \/ 6 /
(1 + \/ 6, --------------------------)
___
-1 + 1 + \/ 6
Интервалы возрастания и убывания функции:Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 1 + \sqrt{6}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \sqrt{6} + 1$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, - \sqrt{6} + 1\right] \cup \left[1 + \sqrt{6}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[- \sqrt{6} + 1, 1 + \sqrt{6}\right]$$