Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
- x^2*(e)^(-x)
-
asin(e^x)
-
x^3-3*x-6
-
x-2/(sqrt(x^2+1))
- Производная:
-
(x^2-5)/(x-3)
-
Идентичные выражения
- (x^ два - пять)/(x- три)
- (x в квадрате минус 5) делить на (x минус 3)
- (x в степени два минус пять) делить на (x минус три)
- (x2-5)/(x-3)
- x2-5/x-3
- (x²-5)/(x-3)
- (x в степени 2-5)/(x-3)
- x^2-5/x-3
- (x^2-5) разделить на (x-3)
-
Похожие выражения
- (x^2+5)/(x-3)
- (x^2-5)/(x+3)
График функции y = (x^2-5)/(x-3)
Решение
Вы ввели
[src]
2
x - 5
f(x) = ------
x - 3
$$f{\left(x \right)} = \frac{x^{2} - 5}{x - 3}$$
f = (x^2 - 1*5)/(x - 1*3)
График функции
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 3$$
$$x_{1} = 3$$
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x^{2} - 5}{x - 3} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = - \sqrt{5}$$
$$x_{2} = \sqrt{5}$$
Численное решение
$$x_{1} = -2.23606797749979$$
$$x_{2} = 2.23606797749979$$
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x^{2} - 5}{x - 3} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = - \sqrt{5}$$
$$x_{2} = \sqrt{5}$$
Численное решение
$$x_{1} = -2.23606797749979$$
$$x_{2} = 2.23606797749979$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{2 x}{x - 3} - \frac{x^{2} - 5}{\left(x - 3\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 5$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 5$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = 1$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, 1\right] \cup \left[5, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[1, 5\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{2 x}{x - 3} - \frac{x^{2} - 5}{\left(x - 3\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 5$$
Зн. экстремумы в точках:
-5 + 1
(1, ------)
-3 + 1 -5 + 25
(5, -------)
-3 + 5 Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 5$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = 1$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, 1\right] \cup \left[5, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[1, 5\right]$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{2 \left(- \frac{2 x}{x - 3} + 1 + \frac{x^{2} - 5}{\left(x - 3\right)^{2}}\right)}{x - 3} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{2 \left(- \frac{2 x}{x - 3} + 1 + \frac{x^{2} - 5}{\left(x - 3\right)^{2}}\right)}{x - 3} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
Вертикальные асимптоты
Есть:
$$x_{1} = 3$$
$$x_{1} = 3$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} - 5}{x - 3}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 5}{x - 3}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} - 5}{x - 3}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 5}{x - 3}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x^2 - 1*5)/(x - 1*3), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} - 5}{x \left(x - 3\right)}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 5}{x \left(x - 3\right)}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} - 5}{x \left(x - 3\right)}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 5}{x \left(x - 3\right)}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x$$
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x^{2} - 5}{x - 3} = \frac{x^{2} - 5}{- x - 3}$$
- Нет
$$\frac{x^{2} - 5}{x - 3} = - \frac{x^{2} - 5}{- x - 3}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$\frac{x^{2} - 5}{x - 3} = \frac{x^{2} - 5}{- x - 3}$$
- Нет
$$\frac{x^{2} - 5}{x - 3} = - \frac{x^{2} - 5}{- x - 3}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График