Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
-
x^5*e^x
-
4*x^2-6*x-7
-
x*((|x-2|))
-
7*x^4-5*x^3-x+25
- Уравнение:
-
(x+1)^3/(x-1)^2
- Производная:
-
(x+1)^3/(x-1)^2
-
Идентичные выражения
- (x+ один)^ три /(x- один)^ два
- (x плюс 1) в кубе делить на (x минус 1) в квадрате
- (x плюс один) в степени три делить на (x минус один) в степени два
- (x+1)3/(x-1)2
- x+13/x-12
- (x+1)³/(x-1)²
- (x+1) в степени 3/(x-1) в степени 2
- x+1^3/x-1^2
- (x+1)^3 разделить на (x-1)^2
-
Похожие выражения
- (x-1)^3/(x-1)^2
- (x+1)^3/(x+1)^2
- ((x+1)^3)/(x-1)^2
График функции y = (x+1)^3/(x-1)^2
Решение
Вы ввели
[src]
3
(x + 1)
f(x) = --------
2
(x - 1)
$$f{\left(x \right)} = \frac{\left(x + 1\right)^{3}}{\left(x - 1\right)^{2}}$$
f = (x + 1)^3/((x - 1*1)^2)
График функции
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{1} = 1$$
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{\left(x + 1\right)^{3}}{\left(x - 1\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = -1$$
Численное решение
$$x_{1} = -1.00011557958674$$
значит надо решить уравнение:
$$\frac{\left(x + 1\right)^{3}}{\left(x - 1\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = -1$$
Численное решение
$$x_{1} = -1.00011557958674$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{\left(- 2 x + 2\right) \left(x + 1\right)^{3}}{\left(x - 1\right)^{4}} + \frac{3 \left(x + 1\right)^{2}}{\left(x - 1\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 5$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 5$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
$$\left[5, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, 5\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{\left(- 2 x + 2\right) \left(x + 1\right)^{3}}{\left(x - 1\right)^{4}} + \frac{3 \left(x + 1\right)^{2}}{\left(x - 1\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 5$$
Зн. экстремумы в точках:
(-1, 0)
216
(5, ---------)
2
(-1 + 5) Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 5$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
$$\left[5, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, 5\right]$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{6 \left(x + 1\right) \left(1 - \frac{2 \left(x + 1\right)}{x - 1} + \frac{\left(x + 1\right)^{2}}{\left(x - 1\right)^{2}}\right)}{\left(x - 1\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = -1$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 1$$
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{6 \left(x + 1\right) \left(1 - \frac{2 \left(x + 1\right)}{x - 1} + \frac{\left(x + 1\right)^{2}}{\left(x - 1\right)^{2}}\right)}{\left(x - 1\right)^{2}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{6 \left(x + 1\right) \left(1 - \frac{2 \left(x + 1\right)}{x - 1} + \frac{\left(x + 1\right)^{2}}{\left(x - 1\right)^{2}}\right)}{\left(x - 1\right)^{2}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
- пределы равны, зн. пропускаем соответствующую точку
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[-1, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, -1\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{6 \left(x + 1\right) \left(1 - \frac{2 \left(x + 1\right)}{x - 1} + \frac{\left(x + 1\right)^{2}}{\left(x - 1\right)^{2}}\right)}{\left(x - 1\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = -1$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 1$$
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{6 \left(x + 1\right) \left(1 - \frac{2 \left(x + 1\right)}{x - 1} + \frac{\left(x + 1\right)^{2}}{\left(x - 1\right)^{2}}\right)}{\left(x - 1\right)^{2}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{6 \left(x + 1\right) \left(1 - \frac{2 \left(x + 1\right)}{x - 1} + \frac{\left(x + 1\right)^{2}}{\left(x - 1\right)^{2}}\right)}{\left(x - 1\right)^{2}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
- пределы равны, зн. пропускаем соответствующую точку
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[-1, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, -1\right]$$
Вертикальные асимптоты
Есть:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{1} = 1$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x + 1\right)^{3}}{\left(x - 1\right)^{2}}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 1\right)^{3}}{\left(x - 1\right)^{2}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x + 1\right)^{3}}{\left(x - 1\right)^{2}}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 1\right)^{3}}{\left(x - 1\right)^{2}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x + 1)^3/((x - 1*1)^2), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x + 1\right)^{3}}{x \left(x - 1\right)^{2}}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 1\right)^{3}}{x \left(x - 1\right)^{2}}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x + 1\right)^{3}}{x \left(x - 1\right)^{2}}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 1\right)^{3}}{x \left(x - 1\right)^{2}}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x$$
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{\left(x + 1\right)^{3}}{\left(x - 1\right)^{2}} = \frac{\left(- x + 1\right)^{3}}{\left(- x - 1\right)^{2}}$$
- Нет
$$\frac{\left(x + 1\right)^{3}}{\left(x - 1\right)^{2}} = - \frac{\left(- x + 1\right)^{3}}{\left(- x - 1\right)^{2}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$\frac{\left(x + 1\right)^{3}}{\left(x - 1\right)^{2}} = \frac{\left(- x + 1\right)^{3}}{\left(- x - 1\right)^{2}}$$
- Нет
$$\frac{\left(x + 1\right)^{3}}{\left(x - 1\right)^{2}} = - \frac{\left(- x + 1\right)^{3}}{\left(- x - 1\right)^{2}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График