Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
- (cos(x))^2
- |x|+1
- (x^2-9)
- (|x-5|)
- Производная:
-
(x+1)^2/x^2
-
Идентичные выражения
- (x+ один)^ два /x^ два
- (x плюс 1) в квадрате делить на x в квадрате
- (x плюс один) в степени два делить на x в степени два
- (x+1)2/x2
- x+12/x2
- (x+1)²/x²
- (x+1) в степени 2/x в степени 2
- x+1^2/x^2
- (x+1)^2 разделить на x^2
-
Похожие выражения
- (x-1)^2/x^2
- (x+1)^2/(x^2+2)
- (4*(x+1)^2)/(x^2+2*x-4)
- cbrt((x+1)^2)/x^2
- (4*(x+1)^2)/(x^2+2*x+4)
-
Что Вы имели ввиду?
- (x + 1)^2/(x^2)
- (x + 1)^((2/x)^2)
- (x + 1)^((2/x)^2)
Вы ввели:
(x+1)^2/x^2
Что Вы имели ввиду?
График функции y = (x+1)^2/x^2
Решение
Вы ввели
[src]
2
(x + 1)
f(x) = --------
2
x
$$f{\left(x \right)} = \frac{\left(x + 1\right)^{2}}{x^{2}}$$
f = (x + 1)^2/(x^2)
График функции
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{\left(x + 1\right)^{2}}{x^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = -1$$
Численное решение
$$x_{1} = -1.00000005453173$$
значит надо решить уравнение:
$$\frac{\left(x + 1\right)^{2}}{x^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = -1$$
Численное решение
$$x_{1} = -1.00000005453173$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{2 x + 2}{x^{2}} - \frac{2 \left(x + 1\right)^{2}}{x^{3}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = -1$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = -1$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
$$\left[-1, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, -1\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{2 x + 2}{x^{2}} - \frac{2 \left(x + 1\right)^{2}}{x^{3}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = -1$$
Зн. экстремумы в точках:
(-1, 0)
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = -1$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
$$\left[-1, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, -1\right]$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{2 \cdot \left(1 - \frac{4 \left(x + 1\right)}{x} + \frac{3 \left(x + 1\right)^{2}}{x^{2}}\right)}{x^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{3}{2}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{2 \cdot \left(1 - \frac{4 \left(x + 1\right)}{x} + \frac{3 \left(x + 1\right)^{2}}{x^{2}}\right)}{x^{2}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \cdot \left(1 - \frac{4 \left(x + 1\right)}{x} + \frac{3 \left(x + 1\right)^{2}}{x^{2}}\right)}{x^{2}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
- пределы равны, зн. пропускаем соответствующую точку
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[- \frac{3}{2}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{3}{2}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{2 \cdot \left(1 - \frac{4 \left(x + 1\right)}{x} + \frac{3 \left(x + 1\right)^{2}}{x^{2}}\right)}{x^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{3}{2}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{2 \cdot \left(1 - \frac{4 \left(x + 1\right)}{x} + \frac{3 \left(x + 1\right)^{2}}{x^{2}}\right)}{x^{2}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \cdot \left(1 - \frac{4 \left(x + 1\right)}{x} + \frac{3 \left(x + 1\right)^{2}}{x^{2}}\right)}{x^{2}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
- пределы равны, зн. пропускаем соответствующую точку
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[- \frac{3}{2}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{3}{2}\right]$$
Вертикальные асимптоты
Есть:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x + 1\right)^{2}}{x^{2}}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 1\right)^{2}}{x^{2}}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x + 1\right)^{2}}{x^{2}}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 1\right)^{2}}{x^{2}}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 1$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x + 1)^2/(x^2), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x + 1\right)^{2}}{x x^{2}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 1\right)^{2}}{x x^{2}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x + 1\right)^{2}}{x x^{2}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 1\right)^{2}}{x x^{2}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{\left(x + 1\right)^{2}}{x^{2}} = \frac{\left(- x + 1\right)^{2}}{x^{2}}$$
- Нет
$$\frac{\left(x + 1\right)^{2}}{x^{2}} = - \frac{\left(- x + 1\right)^{2}}{x^{2}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$\frac{\left(x + 1\right)^{2}}{x^{2}} = \frac{\left(- x + 1\right)^{2}}{x^{2}}$$
- Нет
$$\frac{\left(x + 1\right)^{2}}{x^{2}} = - \frac{\left(- x + 1\right)^{2}}{x^{2}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График