Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
- 2/3*x^3-8*x^2+15
- (|x^3-4|)
- -x^3+12*x^2-45*x+53
-
(x+7)/(x-7)
- Производная:
-
(x+1+log(x))/x
-
Идентичные выражения
- (x+ один +log(x))/x
- (x плюс 1 плюс логарифм от (x)) делить на x
- (x плюс один плюс логарифм от (x)) делить на x
- x+1+logx/x
- (x+1+log(x)) разделить на x
-
Похожие выражения
- (x-1+log(x))/x
- (x+1-log(x))/x
График функции y = (x+1+log(x))/x
Решение
Вы ввели
[src]
x + 1 + log(x)
f(x) = --------------
x
$$f{\left(x \right)} = \frac{x + \log{\left(x \right)} + 1}{x}$$
f = (x + log(x) + 1)/x
График функции
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x + \log{\left(x \right)} + 1}{x} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = W\left(e^{-1}\right)$$
Численное решение
$$x_{1} = 0.278464542761074$$
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x + \log{\left(x \right)} + 1}{x} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = W\left(e^{-1}\right)$$
Численное решение
$$x_{1} = 0.278464542761074$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{1 + \frac{1}{x}}{x} - \frac{x + \log{\left(x \right)} + 1}{x^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 1$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = 1$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, 1\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left[1, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{1 + \frac{1}{x}}{x} - \frac{x + \log{\left(x \right)} + 1}{x^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 1$$
Зн. экстремумы в точках:
(1, 2)
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = 1$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, 1\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left[1, \infty\right)$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{-2 + \frac{2 \left(x + \log{\left(x \right)} + 1\right)}{x} - \frac{3}{x}}{x^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = e^{\frac{1}{2}}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{-2 + \frac{2 \left(x + \log{\left(x \right)} + 1\right)}{x} - \frac{3}{x}}{x^{2}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{-2 + \frac{2 \left(x + \log{\left(x \right)} + 1\right)}{x} - \frac{3}{x}}{x^{2}}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = 0$$
- является точкой перегиба
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[e^{\frac{1}{2}}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, e^{\frac{1}{2}}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{-2 + \frac{2 \left(x + \log{\left(x \right)} + 1\right)}{x} - \frac{3}{x}}{x^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = e^{\frac{1}{2}}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{-2 + \frac{2 \left(x + \log{\left(x \right)} + 1\right)}{x} - \frac{3}{x}}{x^{2}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{-2 + \frac{2 \left(x + \log{\left(x \right)} + 1\right)}{x} - \frac{3}{x}}{x^{2}}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = 0$$
- является точкой перегиба
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[e^{\frac{1}{2}}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, e^{\frac{1}{2}}\right]$$
Вертикальные асимптоты
Есть:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x + \log{\left(x \right)} + 1}{x}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + \log{\left(x \right)} + 1}{x}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x + \log{\left(x \right)} + 1}{x}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + \log{\left(x \right)} + 1}{x}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 1$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x + 1 + log(x))/x, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x + \log{\left(x \right)} + 1}{x^{2}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + \log{\left(x \right)} + 1}{x^{2}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x + \log{\left(x \right)} + 1}{x^{2}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + \log{\left(x \right)} + 1}{x^{2}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x + \log{\left(x \right)} + 1}{x} = - \frac{- x + \log{\left(- x \right)} + 1}{x}$$
- Нет
$$\frac{x + \log{\left(x \right)} + 1}{x} = \frac{- x + \log{\left(- x \right)} + 1}{x}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$\frac{x + \log{\left(x \right)} + 1}{x} = - \frac{- x + \log{\left(- x \right)} + 1}{x}$$
- Нет
$$\frac{x + \log{\left(x \right)} + 1}{x} = \frac{- x + \log{\left(- x \right)} + 1}{x}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График