Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная$$- \frac{2 x \left(x - 5\right)}{\left(x^{2} + 144\right)^{2}} + \frac{1}{x^{2} + 144} = 0$$
Решаем это уравнениеКорни этого уравнения
$$x_{1} = -8$$
$$x_{2} = 18$$
Зн. экстремумы в точках:
(-8, -1/26 - 1/208*5)
(18, -1/468*5 + 1/26)
Интервалы возрастания и убывания функции:Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = -8$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = 18$$
Убывает на промежутках
$$\left[-8, 18\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, -8\right] \cup \left[18, \infty\right)$$