Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
-
(2*x-1)/(x-1)^2
-
1/x*log(x)
- asin(2*x/(1+x^2))
- (sin(x))/(sin(x+pi/4))
- Производная:
-
x/((x-2)*(x+3))
-
Идентичные выражения
- x/((x- два)*(x+ три))
- x делить на ((x минус 2) умножить на (x плюс 3))
- x делить на ((x минус два) умножить на (x плюс три))
- x/((x-2)(x+3))
- x/x-2x+3
- x разделить на ((x-2)*(x+3))
-
Похожие выражения
- x/((x-2)*(x-3))
- x/((x+2)*(x+3))
График функции y = x/((x-2)*(x+3))
Решение
Вы ввели
[src]
x
f(x) = ---------------
(x - 2)*(x + 3)
$$f{\left(x \right)} = \frac{x}{\left(x + 3\right) \left(x - 2\right)}$$
f = x/(((x + 3)*(x - 1*2)))
График функции
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 2$$
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x}{\left(x + 3\right) \left(x - 2\right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x}{\left(x + 3\right) \left(x - 2\right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{1}{\left(x + 3\right) \left(x - 2\right)} + \frac{x \left(- 2 x - 1\right)}{\left(x + 3\right)^{2} \left(x - 2\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{1}{\left(x + 3\right) \left(x - 2\right)} + \frac{x \left(- 2 x - 1\right)}{\left(x + 3\right)^{2} \left(x - 2\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{x \left(\left(2 x + 1\right) \left(\frac{1}{x + 3} + \frac{1}{x - 2}\right) - 2 + \frac{2 x + 1}{x + 3} + \frac{2 x + 1}{x - 2}\right) - 4 x - 2}{\left(x - 2\right)^{2} \left(x + 3\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \sqrt[3]{18} + \sqrt[3]{12}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 2$$
$$\lim_{x \to -3^-}\left(\frac{x \left(\left(2 x + 1\right) \left(\frac{1}{x + 3} + \frac{1}{x - 2}\right) - 2 + \frac{2 x + 1}{x + 3} + \frac{2 x + 1}{x - 2}\right) - 4 x - 2}{\left(x - 2\right)^{2} \left(x + 3\right)^{2}}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to -3^+}\left(\frac{x \left(\left(2 x + 1\right) \left(\frac{1}{x + 3} + \frac{1}{x - 2}\right) - 2 + \frac{2 x + 1}{x + 3} + \frac{2 x + 1}{x - 2}\right) - 4 x - 2}{\left(x - 2\right)^{2} \left(x + 3\right)^{2}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = -3$$
- является точкой перегиба
$$\lim_{x \to 2^-}\left(\frac{x \left(\left(2 x + 1\right) \left(\frac{1}{x + 3} + \frac{1}{x - 2}\right) - 2 + \frac{2 x + 1}{x + 3} + \frac{2 x + 1}{x - 2}\right) - 4 x - 2}{\left(x - 2\right)^{2} \left(x + 3\right)^{2}}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{x \left(\left(2 x + 1\right) \left(\frac{1}{x + 3} + \frac{1}{x - 2}\right) - 2 + \frac{2 x + 1}{x + 3} + \frac{2 x + 1}{x - 2}\right) - 4 x - 2}{\left(x - 2\right)^{2} \left(x + 3\right)^{2}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{2} = 2$$
- является точкой перегиба
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, - \sqrt[3]{18} + \sqrt[3]{12}\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[- \sqrt[3]{18} + \sqrt[3]{12}, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{x \left(\left(2 x + 1\right) \left(\frac{1}{x + 3} + \frac{1}{x - 2}\right) - 2 + \frac{2 x + 1}{x + 3} + \frac{2 x + 1}{x - 2}\right) - 4 x - 2}{\left(x - 2\right)^{2} \left(x + 3\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \sqrt[3]{18} + \sqrt[3]{12}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 2$$
$$\lim_{x \to -3^-}\left(\frac{x \left(\left(2 x + 1\right) \left(\frac{1}{x + 3} + \frac{1}{x - 2}\right) - 2 + \frac{2 x + 1}{x + 3} + \frac{2 x + 1}{x - 2}\right) - 4 x - 2}{\left(x - 2\right)^{2} \left(x + 3\right)^{2}}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to -3^+}\left(\frac{x \left(\left(2 x + 1\right) \left(\frac{1}{x + 3} + \frac{1}{x - 2}\right) - 2 + \frac{2 x + 1}{x + 3} + \frac{2 x + 1}{x - 2}\right) - 4 x - 2}{\left(x - 2\right)^{2} \left(x + 3\right)^{2}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = -3$$
- является точкой перегиба
$$\lim_{x \to 2^-}\left(\frac{x \left(\left(2 x + 1\right) \left(\frac{1}{x + 3} + \frac{1}{x - 2}\right) - 2 + \frac{2 x + 1}{x + 3} + \frac{2 x + 1}{x - 2}\right) - 4 x - 2}{\left(x - 2\right)^{2} \left(x + 3\right)^{2}}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{x \left(\left(2 x + 1\right) \left(\frac{1}{x + 3} + \frac{1}{x - 2}\right) - 2 + \frac{2 x + 1}{x + 3} + \frac{2 x + 1}{x - 2}\right) - 4 x - 2}{\left(x - 2\right)^{2} \left(x + 3\right)^{2}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{2} = 2$$
- является точкой перегиба
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, - \sqrt[3]{18} + \sqrt[3]{12}\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[- \sqrt[3]{18} + \sqrt[3]{12}, \infty\right)$$
Вертикальные асимптоты
Есть:
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 2$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{\left(x + 3\right) \left(x - 2\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{\left(x + 3\right) \left(x - 2\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{\left(x + 3\right) \left(x - 2\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{\left(x + 3\right) \left(x - 2\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x/(((x - 1*2)*(x + 3))), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{\left(x + 3\right) \left(x - 2\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{\left(x + 3\right) \left(x - 2\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{\left(x + 3\right) \left(x - 2\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{\left(x + 3\right) \left(x - 2\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x}{\left(x + 3\right) \left(x - 2\right)} = - \frac{x}{\left(- x + 3\right) \left(- x - 2\right)}$$
- Нет
$$\frac{x}{\left(x + 3\right) \left(x - 2\right)} = \frac{x}{\left(- x + 3\right) \left(- x - 2\right)}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$\frac{x}{\left(x + 3\right) \left(x - 2\right)} = - \frac{x}{\left(- x + 3\right) \left(- x - 2\right)}$$
- Нет
$$\frac{x}{\left(x + 3\right) \left(x - 2\right)} = \frac{x}{\left(- x + 3\right) \left(- x - 2\right)}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График