Господин Экзамен

Другие калькуляторы

1/(x*log(x))
Построение графика функции/ 1/(x*log(x))

График функции y = 1/(x*log(x))

v

График:

от до

Точки пересечения:

показывать?

Кусочно-заданная:

Решение

Вы ввели [src] 
            1    
f(x) = 1*--------
         x*log(x)
$$f{\left(x \right)} = 1 \cdot \frac{1}{x \log{\left(x \right)}}$$ 
f = 1/(x*log(x))
График функции
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$1 \cdot \frac{1}{x \log{\left(x \right)}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 1/(x*log(x)).
$$1 \cdot \frac{1}{0 \log{\left(0 \right)}}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = \text{NaN}$$
- решений у уравнения нет
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{\frac{1}{x \log{\left(x \right)}} \left(- \log{\left(x \right)} - 1\right)}{x \log{\left(x \right)}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = e^{-1}$$
Зн. экстремумы в точках:
  -1     
(e , -e)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = e^{-1}$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, e^{-1}\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left[e^{-1}, \infty\right)$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{\left(1 + \frac{1}{\log{\left(x \right)}}\right) \left(\log{\left(x \right)} + 1\right) + \log{\left(x \right)} + \frac{\log{\left(x \right)} + 1}{\log{\left(x \right)}}}{x^{3} \log{\left(x \right)}^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
Вертикальные асимптоты
Есть:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(1 \cdot \frac{1}{x \log{\left(x \right)}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(1 \cdot \frac{1}{x \log{\left(x \right)}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 1/(x*log(x)), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{1}{x} \frac{1}{\log{\left(x \right)}}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{1}{x} \frac{1}{\log{\left(x \right)}}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$1 \cdot \frac{1}{x \log{\left(x \right)}} = - \frac{1}{x \log{\left(- x \right)}}$$
- Нет
$$1 \cdot \frac{1}{x \log{\left(x \right)}} = \frac{1}{x \log{\left(- x \right)}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График
График функции y = 1/(x*log(x))
    © Господин Экзамен – Калькулятор