Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
- (x^3-4)/x^2
- e^x*cos(x)
-
x+4
-
sqrt(x+4)+2/3*sqrt(9-3*x)
- Производная:
-
(8*x)/(x^2+4*x+41)
-
Идентичные выражения
- (восемь *x)/(x^ два + четыре *x+ сорок один)
- (8 умножить на x) делить на (x в квадрате плюс 4 умножить на x плюс 41)
- (восемь умножить на x) делить на (x в степени два плюс четыре умножить на x плюс сорок один)
- (8*x)/(x2+4*x+41)
- 8*x/x2+4*x+41
- (8*x)/(x²+4*x+41)
- (8*x)/(x в степени 2+4*x+41)
- (8x)/(x^2+4x+41)
- (8x)/(x2+4x+41)
- 8x/x2+4x+41
- 8x/x^2+4x+41
- (8*x) разделить на (x^2+4*x+41)
-
Похожие выражения
- (8*x)/(x^2-4*x+41)
- (8*x)/(x^2+4*x-41)
График функции y = (8*x)/(x^2+4*x+41)
Решение
Вы ввели
[src]
8*x
f(x) = -------------
2
x + 4*x + 41
$$f{\left(x \right)} = \frac{8 x}{x^{2} + 4 x + 41}$$
f = 8*x/(x^2 + 4*x + 41)
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{8 x}{x^{2} + 4 x + 41} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
значит надо решить уравнение:
$$\frac{8 x}{x^{2} + 4 x + 41} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{8 x \left(- 2 x - 4\right)}{\left(x^{2} + 4 x + 41\right)^{2}} + \frac{8}{x^{2} + 4 x + 41} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \sqrt{41}$$
$$x_{2} = \sqrt{41}$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \sqrt{41}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = \sqrt{41}$$
Убывает на промежутках
$$\left[- \sqrt{41}, \sqrt{41}\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, - \sqrt{41}\right] \cup \left[\sqrt{41}, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{8 x \left(- 2 x - 4\right)}{\left(x^{2} + 4 x + 41\right)^{2}} + \frac{8}{x^{2} + 4 x + 41} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \sqrt{41}$$
$$x_{2} = \sqrt{41}$$
Зн. экстремумы в точках:
____
____ -8*\/ 41
(-\/ 41, ---------------)
____
- 4*\/ 41 + 82 ____
____ 8*\/ 41
(\/ 41, -------------)
____
4*\/ 41 + 82 Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \sqrt{41}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = \sqrt{41}$$
Убывает на промежутках
$$\left[- \sqrt{41}, \sqrt{41}\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, - \sqrt{41}\right] \cup \left[\sqrt{41}, \infty\right)$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{16 \left(x \left(\frac{4 \left(x + 2\right)^{2}}{x^{2} + 4 x + 41} - 1\right) - 2 x - 4\right)}{\left(x^{2} + 4 x + 41\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = \frac{41}{\sqrt[3]{82 + 41 \sqrt{37} i}} + \sqrt[3]{82 + 41 \sqrt{37} i}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[2 \sqrt{41} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{37}}{2} \right)}}{3} \right)}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, 2 \sqrt{41} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{37}}{2} \right)}}{3} \right)}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{16 \left(x \left(\frac{4 \left(x + 2\right)^{2}}{x^{2} + 4 x + 41} - 1\right) - 2 x - 4\right)}{\left(x^{2} + 4 x + 41\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = \frac{41}{\sqrt[3]{82 + 41 \sqrt{37} i}} + \sqrt[3]{82 + 41 \sqrt{37} i}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[2 \sqrt{41} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{37}}{2} \right)}}{3} \right)}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, 2 \sqrt{41} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{37}}{2} \right)}}{3} \right)}\right]$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{8 x}{x^{2} + 4 x + 41}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{8 x}{x^{2} + 4 x + 41}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{8 x}{x^{2} + 4 x + 41}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{8 x}{x^{2} + 4 x + 41}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 8*x/(x^2 + 4*x + 41), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{8}{x^{2} + 4 x + 41}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{8}{x^{2} + 4 x + 41}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{8}{x^{2} + 4 x + 41}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{8}{x^{2} + 4 x + 41}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{8 x}{x^{2} + 4 x + 41} = - \frac{8 x}{x^{2} - 4 x + 41}$$
- Нет
$$\frac{8 x}{x^{2} + 4 x + 41} = \frac{8 x}{x^{2} - 4 x + 41}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$\frac{8 x}{x^{2} + 4 x + 41} = - \frac{8 x}{x^{2} - 4 x + 41}$$
- Нет
$$\frac{8 x}{x^{2} + 4 x + 41} = \frac{8 x}{x^{2} - 4 x + 41}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График