Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
- x+9/x
-
2*(x+3)^2-9
- (3*x^2)/(2*x-5)
-
x^3-x^2
- Производная:
-
sin(x)^(2)-sin(x)
-
Идентичные выражения
- sin(x)^(два)-sin(x)
- синус от (x) в степени (2) минус синус от (x)
- синус от (x) в степени (два) минус синус от (x)
- sin(x)(2)-sin(x)
- sinx2-sinx
- sinx^2-sinx
-
Похожие выражения
- sin(x)^(2)+sin(x)
- sinx^(2)-sinx
График функции y = sin(x)^(2)-sin(x)
Решение
Вы ввели
[src]
2 f(x) = sin (x) - sin(x)
$$f{\left(x \right)} = \sin^{2}{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)}$$
f = sin(x)^2 - sin(x)
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\sin^{2}{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \pi$$
Численное решение
$$x_{1} = 81.6814089933346$$
$$x_{2} = 56.5486677646163$$
$$x_{3} = 14.1371670985871$$
$$x_{4} = 95.8185760548644$$
$$x_{5} = 25.1327412287183$$
$$x_{6} = 39.2699086388565$$
$$x_{7} = -73.8274272802392$$
$$x_{8} = 53.4070751110265$$
$$x_{9} = -69.1150383789755$$
$$x_{10} = -10.9955739732138$$
$$x_{11} = -75.398223686155$$
$$x_{12} = -31.4159265358979$$
$$x_{13} = -61.2610569243204$$
$$x_{14} = 50.2654824574367$$
$$x_{15} = 0$$
$$x_{16} = 58.1194647431527$$
$$x_{17} = -25.1327412287183$$
$$x_{18} = -94.2477796076938$$
$$x_{19} = -4.7123888305818$$
$$x_{20} = 94.2477796076938$$
$$x_{21} = -72.2566310325652$$
$$x_{22} = -80.1106125810393$$
$$x_{23} = -97.3893722612836$$
$$x_{24} = -78.5398163397448$$
$$x_{25} = -21.9911485751286$$
$$x_{26} = -36.1283154212439$$
$$x_{27} = -54.9778709863297$$
$$x_{28} = 28.2743338823081$$
$$x_{29} = 70.6858345286456$$
$$x_{30} = 32.986723044911$$
$$x_{31} = 47.1238898038469$$
$$x_{32} = -87.9645943005142$$
$$x_{33} = -59.6902604182061$$
$$x_{34} = -18.8495559215388$$
$$x_{35} = -65.9734457253857$$
$$x_{36} = 9.42477796076938$$
$$x_{37} = 3.14159265358979$$
$$x_{38} = 97.3893722612836$$
$$x_{39} = 18.8495559215388$$
$$x_{40} = 15.707963267949$$
$$x_{41} = 89.5353908137952$$
$$x_{42} = -50.2654824574367$$
$$x_{43} = 83.2522050600807$$
$$x_{44} = -9.42477796076938$$
$$x_{45} = -43.9822971502571$$
$$x_{46} = 43.9822971502571$$
$$x_{47} = 64.4026493102586$$
$$x_{48} = 34.5575191894877$$
$$x_{49} = 7.85398173796495$$
$$x_{50} = 1.57079651244662$$
$$x_{51} = -29.8451300972765$$
$$x_{52} = -86.3937977915432$$
$$x_{53} = -17.2787597741434$$
$$x_{54} = -37.6991118430775$$
$$x_{55} = 37.6991118430775$$
$$x_{56} = -34.5575191894877$$
$$x_{57} = -92.6769832292373$$
$$x_{58} = -84.8230016469244$$
$$x_{59} = -81.6814089933346$$
$$x_{60} = 83.2522058001693$$
$$x_{61} = 72.2566310325652$$
$$x_{62} = 62.8318530717959$$
$$x_{63} = 76.9690200976964$$
$$x_{64} = -23.5619450064001$$
$$x_{65} = -67.5442421642546$$
$$x_{66} = -42.4115006392452$$
$$x_{67} = 51.8362788966528$$
$$x_{68} = -4.71238903613963$$
$$x_{69} = 76.969019673036$$
$$x_{70} = 6.28318530717959$$
$$x_{71} = 39.2699080280542$$
$$x_{72} = 45.553093663481$$
$$x_{73} = -53.4070751110265$$
$$x_{74} = 32.9867223690379$$
$$x_{75} = -62.8318530717959$$
$$x_{76} = 26.7035373768773$$
$$x_{77} = -28.2743338823081$$
$$x_{78} = 78.5398163397448$$
$$x_{79} = 69.1150383789755$$
$$x_{80} = -10.9955747331165$$
$$x_{81} = 21.9911485751286$$
$$x_{82} = -48.6946861243056$$
$$x_{83} = -15.707963267949$$
$$x_{84} = -40.8407044966673$$
$$x_{85} = -1564.51314148772$$
$$x_{86} = 20.42035215177$$
$$x_{87} = 87.9645943005142$$
$$x_{88} = -54.9778717129156$$
$$x_{89} = 120.951318648179$$
$$x_{90} = 65.9734457253857$$
$$x_{91} = 59.6902604182061$$
$$x_{92} = 91.106186954104$$
$$x_{93} = 100.530964914873$$
$$x_{94} = -6.28318530717959$$
$$x_{95} = 12.5663706143592$$
значит надо решить уравнение:
$$\sin^{2}{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \pi$$
Численное решение
$$x_{1} = 81.6814089933346$$
$$x_{2} = 56.5486677646163$$
$$x_{3} = 14.1371670985871$$
$$x_{4} = 95.8185760548644$$
$$x_{5} = 25.1327412287183$$
$$x_{6} = 39.2699086388565$$
$$x_{7} = -73.8274272802392$$
$$x_{8} = 53.4070751110265$$
$$x_{9} = -69.1150383789755$$
$$x_{10} = -10.9955739732138$$
$$x_{11} = -75.398223686155$$
$$x_{12} = -31.4159265358979$$
$$x_{13} = -61.2610569243204$$
$$x_{14} = 50.2654824574367$$
$$x_{15} = 0$$
$$x_{16} = 58.1194647431527$$
$$x_{17} = -25.1327412287183$$
$$x_{18} = -94.2477796076938$$
$$x_{19} = -4.7123888305818$$
$$x_{20} = 94.2477796076938$$
$$x_{21} = -72.2566310325652$$
$$x_{22} = -80.1106125810393$$
$$x_{23} = -97.3893722612836$$
$$x_{24} = -78.5398163397448$$
$$x_{25} = -21.9911485751286$$
$$x_{26} = -36.1283154212439$$
$$x_{27} = -54.9778709863297$$
$$x_{28} = 28.2743338823081$$
$$x_{29} = 70.6858345286456$$
$$x_{30} = 32.986723044911$$
$$x_{31} = 47.1238898038469$$
$$x_{32} = -87.9645943005142$$
$$x_{33} = -59.6902604182061$$
$$x_{34} = -18.8495559215388$$
$$x_{35} = -65.9734457253857$$
$$x_{36} = 9.42477796076938$$
$$x_{37} = 3.14159265358979$$
$$x_{38} = 97.3893722612836$$
$$x_{39} = 18.8495559215388$$
$$x_{40} = 15.707963267949$$
$$x_{41} = 89.5353908137952$$
$$x_{42} = -50.2654824574367$$
$$x_{43} = 83.2522050600807$$
$$x_{44} = -9.42477796076938$$
$$x_{45} = -43.9822971502571$$
$$x_{46} = 43.9822971502571$$
$$x_{47} = 64.4026493102586$$
$$x_{48} = 34.5575191894877$$
$$x_{49} = 7.85398173796495$$
$$x_{50} = 1.57079651244662$$
$$x_{51} = -29.8451300972765$$
$$x_{52} = -86.3937977915432$$
$$x_{53} = -17.2787597741434$$
$$x_{54} = -37.6991118430775$$
$$x_{55} = 37.6991118430775$$
$$x_{56} = -34.5575191894877$$
$$x_{57} = -92.6769832292373$$
$$x_{58} = -84.8230016469244$$
$$x_{59} = -81.6814089933346$$
$$x_{60} = 83.2522058001693$$
$$x_{61} = 72.2566310325652$$
$$x_{62} = 62.8318530717959$$
$$x_{63} = 76.9690200976964$$
$$x_{64} = -23.5619450064001$$
$$x_{65} = -67.5442421642546$$
$$x_{66} = -42.4115006392452$$
$$x_{67} = 51.8362788966528$$
$$x_{68} = -4.71238903613963$$
$$x_{69} = 76.969019673036$$
$$x_{70} = 6.28318530717959$$
$$x_{71} = 39.2699080280542$$
$$x_{72} = 45.553093663481$$
$$x_{73} = -53.4070751110265$$
$$x_{74} = 32.9867223690379$$
$$x_{75} = -62.8318530717959$$
$$x_{76} = 26.7035373768773$$
$$x_{77} = -28.2743338823081$$
$$x_{78} = 78.5398163397448$$
$$x_{79} = 69.1150383789755$$
$$x_{80} = -10.9955747331165$$
$$x_{81} = 21.9911485751286$$
$$x_{82} = -48.6946861243056$$
$$x_{83} = -15.707963267949$$
$$x_{84} = -40.8407044966673$$
$$x_{85} = -1564.51314148772$$
$$x_{86} = 20.42035215177$$
$$x_{87} = 87.9645943005142$$
$$x_{88} = -54.9778717129156$$
$$x_{89} = 120.951318648179$$
$$x_{90} = 65.9734457253857$$
$$x_{91} = 59.6902604182061$$
$$x_{92} = 91.106186954104$$
$$x_{93} = 100.530964914873$$
$$x_{94} = -6.28318530717959$$
$$x_{95} = 12.5663706143592$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{6}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{4} = \frac{5 \pi}{6}$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = \frac{5 \pi}{6}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
Убывает на промежутках
$$\left[\frac{5 \pi}{6}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{\pi}{6}\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}, \frac{5 \pi}{6}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{6}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{4} = \frac{5 \pi}{6}$$
Зн. экстремумы в точках:
-pi (----, 2) 2
pi (--, -1/4) 6
pi (--, 0) 2
5*pi (----, -1/4) 6
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = \frac{5 \pi}{6}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
Убывает на промежутках
$$\left[\frac{5 \pi}{6}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{\pi}{6}\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}, \frac{5 \pi}{6}\right]$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$- 2 \sin^{2}{\left(x \right)} + 2 \cos^{2}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{33} + 9}}{4} + \frac{\sqrt{33}}{4} \right)}$$
$$x_{2} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{33} + 9}}{4} + \frac{\sqrt{33}}{4} \right)}$$
$$x_{3} = - 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{33}}{4} + \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{33} + 9}}{4} \right)}$$
$$x_{4} = - 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{33} + 9}}{4} + \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{33}}{4} \right)}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{33} + 9}}{4} + \frac{\sqrt{33}}{4} \right)}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, - 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{33} + 9}}{4} + \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{33}}{4} \right)}\right] \cup \left[- 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{33}}{4} + \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{33} + 9}}{4} \right)}, 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{33} + 9}}{4} + \frac{\sqrt{33}}{4} \right)}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$- 2 \sin^{2}{\left(x \right)} + 2 \cos^{2}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{33} + 9}}{4} + \frac{\sqrt{33}}{4} \right)}$$
$$x_{2} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{33} + 9}}{4} + \frac{\sqrt{33}}{4} \right)}$$
$$x_{3} = - 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{33}}{4} + \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{33} + 9}}{4} \right)}$$
$$x_{4} = - 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{33} + 9}}{4} + \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{33}}{4} \right)}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{33} + 9}}{4} + \frac{\sqrt{33}}{4} \right)}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, - 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{33} + 9}}{4} + \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{33}}{4} \right)}\right] \cup \left[- 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{33}}{4} + \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{33} + 9}}{4} \right)}, 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{33} + 9}}{4} + \frac{\sqrt{33}}{4} \right)}\right]$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sin^{2}{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)}\right) = \left\langle -1, 2\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -1, 2\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sin^{2}{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)}\right) = \left\langle -1, 2\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -1, 2\right\rangle$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sin^{2}{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)}\right) = \left\langle -1, 2\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -1, 2\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sin^{2}{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)}\right) = \left\langle -1, 2\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -1, 2\right\rangle$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sin(x)^2 - sin(x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\sin^{2}{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)} = \sin^{2}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}$$
- Нет
$$\sin^{2}{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)} = - \sin^{2}{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$\sin^{2}{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)} = \sin^{2}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}$$
- Нет
$$\sin^{2}{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)} = - \sin^{2}{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График