Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
-
sqrt(5-2*x)
-
(4-x)*e^(x-3)
-
x^3+6*x^2+9*x-4
-
sqrt(|x|)-2-1
- Производная:
-
sin(x)^(2)+sin(x)
-
Идентичные выражения
- sin(x)^(два)+sin(x)
- синус от (x) в степени (2) плюс синус от (x)
- синус от (x) в степени (два) плюс синус от (x)
- sin(x)(2)+sin(x)
- sinx2+sinx
- sinx^2+sinx
-
Похожие выражения
- sin(x)^2+sin(x)
- sin(x)^(2)-sin(x)
- sinx^(2)+sinx
График функции y = sin(x)^(2)+sin(x)
Решение
Вы ввели
[src]
2 f(x) = sin (x) + sin(x)
$$f{\left(x \right)} = \sin^{2}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}$$
f = sin(x)^2 + sin(x)
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\sin^{2}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \pi$$
$$x_{4} = \frac{3 \pi}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = 73.8274274758159$$
$$x_{2} = -89.5353901159531$$
$$x_{3} = 72.2566310325652$$
$$x_{4} = -34.5575191894877$$
$$x_{5} = 10.9955745314484$$
$$x_{6} = 78.5398163397448$$
$$x_{7} = -87.9645943005142$$
$$x_{8} = 3.14159265358979$$
$$x_{9} = -45.5530935853668$$
$$x_{10} = -95.8185758682081$$
$$x_{11} = -58.1194640010631$$
$$x_{12} = 17.2787599718548$$
$$x_{13} = 67.5442422387326$$
$$x_{14} = -100.530964914873$$
$$x_{15} = 21.9911485751286$$
$$x_{16} = 81.6814089933346$$
$$x_{17} = 10.9955738002317$$
$$x_{18} = 12.5663706143592$$
$$x_{19} = -84.8230016469244$$
$$x_{20} = 40.8407044966673$$
$$x_{21} = -72.2566310325652$$
$$x_{22} = 25.1327412287183$$
$$x_{23} = 94.2477796076938$$
$$x_{24} = 59.6902604182061$$
$$x_{25} = -31.4159265358979$$
$$x_{26} = 84.8230016469244$$
$$x_{27} = 61.2610565484827$$
$$x_{28} = 98.9601686349023$$
$$x_{29} = 43.9822971502571$$
$$x_{30} = -53.4070751110265$$
$$x_{31} = -91.106186954104$$
$$x_{32} = -70.6858346750384$$
$$x_{33} = -14.1371668415708$$
$$x_{34} = 80.1106131505346$$
$$x_{35} = 92.6769831047852$$
$$x_{36} = -59.6902604182061$$
$$x_{37} = -40.8407044966673$$
$$x_{38} = 86.3937978896245$$
$$x_{39} = 65.9734457253857$$
$$x_{40} = -81.6814089933346$$
$$x_{41} = -89.5353907430632$$
$$x_{42} = -39.2699083493443$$
$$x_{43} = 56.5486677646163$$
$$x_{44} = -56.5486677646163$$
$$x_{45} = -6.28318530717959$$
$$x_{46} = -94.2477796076938$$
$$x_{47} = -20.4203520633206$$
$$x_{48} = 42.4115007309741$$
$$x_{49} = -18.8495559215388$$
$$x_{50} = 36.1283157927187$$
$$x_{51} = 54.9778709836$$
$$x_{52} = 15.707963267949$$
$$x_{53} = -9.42477796076938$$
$$x_{54} = -28.2743338823081$$
$$x_{55} = -51.8362786901812$$
$$x_{56} = -76.9690201700248$$
$$x_{57} = -1.57079642735461$$
$$x_{58} = -64.4026492153213$$
$$x_{59} = -75.398223686155$$
$$x_{60} = -26.7035375777291$$
$$x_{61} = 28.2743338823081$$
$$x_{62} = 48.6946859526732$$
$$x_{63} = 91.106186954104$$
$$x_{64} = 0$$
$$x_{65} = -65.9734457253857$$
$$x_{66} = -12.5663706143592$$
$$x_{67} = -76.969019611197$$
$$x_{68} = -3.14159265358979$$
$$x_{69} = -43.9822971502571$$
$$x_{70} = -15.707963267949$$
$$x_{71} = -47.1238898038469$$
$$x_{72} = 100.530964914873$$
$$x_{73} = -37.6991118430775$$
$$x_{74} = 69.1150383789755$$
$$x_{75} = 31.4159265358979$$
$$x_{76} = 87.9645943005142$$
$$x_{77} = -32.9867224730462$$
$$x_{78} = 23.5619450880496$$
$$x_{79} = -83.2522054990561$$
$$x_{80} = -51.8362785033387$$
$$x_{81} = 4.71238880126794$$
$$x_{82} = -50.2654824574367$$
$$x_{83} = 34.5575191894877$$
$$x_{84} = -32.9867232359983$$
$$x_{85} = -7.85398150061792$$
$$x_{86} = 37.6991118430775$$
$$x_{87} = -21.9911485751286$$
$$x_{88} = 75.398223686155$$
$$x_{89} = 29.8451303173708$$
$$x_{90} = -97.3893722612836$$
$$x_{91} = -62.8318530717959$$
$$x_{92} = 6.28318530717959$$
$$x_{93} = -26.7035379972524$$
$$x_{94} = 50.2654824574367$$
$$x_{95} = 61.261057240759$$
$$x_{96} = 98.9601685293103$$
$$x_{97} = 17.2787594994858$$
$$x_{98} = 47.1238898038469$$
$$x_{99} = 54.9778715673102$$
значит надо решить уравнение:
$$\sin^{2}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \pi$$
$$x_{4} = \frac{3 \pi}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = 73.8274274758159$$
$$x_{2} = -89.5353901159531$$
$$x_{3} = 72.2566310325652$$
$$x_{4} = -34.5575191894877$$
$$x_{5} = 10.9955745314484$$
$$x_{6} = 78.5398163397448$$
$$x_{7} = -87.9645943005142$$
$$x_{8} = 3.14159265358979$$
$$x_{9} = -45.5530935853668$$
$$x_{10} = -95.8185758682081$$
$$x_{11} = -58.1194640010631$$
$$x_{12} = 17.2787599718548$$
$$x_{13} = 67.5442422387326$$
$$x_{14} = -100.530964914873$$
$$x_{15} = 21.9911485751286$$
$$x_{16} = 81.6814089933346$$
$$x_{17} = 10.9955738002317$$
$$x_{18} = 12.5663706143592$$
$$x_{19} = -84.8230016469244$$
$$x_{20} = 40.8407044966673$$
$$x_{21} = -72.2566310325652$$
$$x_{22} = 25.1327412287183$$
$$x_{23} = 94.2477796076938$$
$$x_{24} = 59.6902604182061$$
$$x_{25} = -31.4159265358979$$
$$x_{26} = 84.8230016469244$$
$$x_{27} = 61.2610565484827$$
$$x_{28} = 98.9601686349023$$
$$x_{29} = 43.9822971502571$$
$$x_{30} = -53.4070751110265$$
$$x_{31} = -91.106186954104$$
$$x_{32} = -70.6858346750384$$
$$x_{33} = -14.1371668415708$$
$$x_{34} = 80.1106131505346$$
$$x_{35} = 92.6769831047852$$
$$x_{36} = -59.6902604182061$$
$$x_{37} = -40.8407044966673$$
$$x_{38} = 86.3937978896245$$
$$x_{39} = 65.9734457253857$$
$$x_{40} = -81.6814089933346$$
$$x_{41} = -89.5353907430632$$
$$x_{42} = -39.2699083493443$$
$$x_{43} = 56.5486677646163$$
$$x_{44} = -56.5486677646163$$
$$x_{45} = -6.28318530717959$$
$$x_{46} = -94.2477796076938$$
$$x_{47} = -20.4203520633206$$
$$x_{48} = 42.4115007309741$$
$$x_{49} = -18.8495559215388$$
$$x_{50} = 36.1283157927187$$
$$x_{51} = 54.9778709836$$
$$x_{52} = 15.707963267949$$
$$x_{53} = -9.42477796076938$$
$$x_{54} = -28.2743338823081$$
$$x_{55} = -51.8362786901812$$
$$x_{56} = -76.9690201700248$$
$$x_{57} = -1.57079642735461$$
$$x_{58} = -64.4026492153213$$
$$x_{59} = -75.398223686155$$
$$x_{60} = -26.7035375777291$$
$$x_{61} = 28.2743338823081$$
$$x_{62} = 48.6946859526732$$
$$x_{63} = 91.106186954104$$
$$x_{64} = 0$$
$$x_{65} = -65.9734457253857$$
$$x_{66} = -12.5663706143592$$
$$x_{67} = -76.969019611197$$
$$x_{68} = -3.14159265358979$$
$$x_{69} = -43.9822971502571$$
$$x_{70} = -15.707963267949$$
$$x_{71} = -47.1238898038469$$
$$x_{72} = 100.530964914873$$
$$x_{73} = -37.6991118430775$$
$$x_{74} = 69.1150383789755$$
$$x_{75} = 31.4159265358979$$
$$x_{76} = 87.9645943005142$$
$$x_{77} = -32.9867224730462$$
$$x_{78} = 23.5619450880496$$
$$x_{79} = -83.2522054990561$$
$$x_{80} = -51.8362785033387$$
$$x_{81} = 4.71238880126794$$
$$x_{82} = -50.2654824574367$$
$$x_{83} = 34.5575191894877$$
$$x_{84} = -32.9867232359983$$
$$x_{85} = -7.85398150061792$$
$$x_{86} = 37.6991118430775$$
$$x_{87} = -21.9911485751286$$
$$x_{88} = 75.398223686155$$
$$x_{89} = 29.8451303173708$$
$$x_{90} = -97.3893722612836$$
$$x_{91} = -62.8318530717959$$
$$x_{92} = 6.28318530717959$$
$$x_{93} = -26.7035379972524$$
$$x_{94} = 50.2654824574367$$
$$x_{95} = 61.261057240759$$
$$x_{96} = 98.9601685293103$$
$$x_{97} = 17.2787594994858$$
$$x_{98} = 47.1238898038469$$
$$x_{99} = 54.9778715673102$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{5 \pi}{6}$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = - \frac{\pi}{6}$$
$$x_{4} = \frac{\pi}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \frac{5 \pi}{6}$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{6}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
Убывает на промежутках
$$\left[- \frac{5 \pi}{6}, - \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[- \frac{\pi}{6}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{5 \pi}{6}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{5 \pi}{6}$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = - \frac{\pi}{6}$$
$$x_{4} = \frac{\pi}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:
-5*pi (------, -1/4) 6
-pi (----, 0) 2
-pi (----, -1/4) 6
pi (--, 2) 2
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \frac{5 \pi}{6}$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{6}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
Убывает на промежутках
$$\left[- \frac{5 \pi}{6}, - \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[- \frac{\pi}{6}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{5 \pi}{6}\right]$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$- 2 \sin^{2}{\left(x \right)} + 2 \cos^{2}{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{33} + 9}}{4} + \frac{\sqrt{33}}{4} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{33} + 9}}{4} + \frac{\sqrt{33}}{4} \right)}$$
$$x_{3} = 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{33}}{4} + \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{33} + 9}}{4} \right)}$$
$$x_{4} = 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{33} + 9}}{4} + \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{33}}{4} \right)}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{33} + 9}}{4} + \frac{\sqrt{33}}{4} \right)}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{33}}{4} + \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{33} + 9}}{4} \right)}\right] \cup \left[2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{33} + 9}}{4} + \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{33}}{4} \right)}, 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{33} + 9}}{4} + \frac{\sqrt{33}}{4} \right)}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$- 2 \sin^{2}{\left(x \right)} + 2 \cos^{2}{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{33} + 9}}{4} + \frac{\sqrt{33}}{4} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{33} + 9}}{4} + \frac{\sqrt{33}}{4} \right)}$$
$$x_{3} = 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{33}}{4} + \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{33} + 9}}{4} \right)}$$
$$x_{4} = 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{33} + 9}}{4} + \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{33}}{4} \right)}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{33} + 9}}{4} + \frac{\sqrt{33}}{4} \right)}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, 2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{33}}{4} + \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{33} + 9}}{4} \right)}\right] \cup \left[2 \operatorname{atan}{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{33} + 9}}{4} + \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{33}}{4} \right)}, 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{33} + 9}}{4} + \frac{\sqrt{33}}{4} \right)}\right]$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}\right) = \left\langle -1, 2\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -1, 2\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}\right) = \left\langle -1, 2\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -1, 2\right\rangle$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}\right) = \left\langle -1, 2\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -1, 2\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}\right) = \left\langle -1, 2\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -1, 2\right\rangle$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sin(x)^2 + sin(x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\sin^{2}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} = \sin^{2}{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)}$$
- Нет
$$\sin^{2}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} = - \sin^{2}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$\sin^{2}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} = \sin^{2}{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)}$$
- Нет
$$\sin^{2}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} = - \sin^{2}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График