Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
-
-3*x^4-4*x^3+24*x^2+48*x+2
-
1/6*x^3-12*x
-
sqrt(8-x)
-
x^2/(x-2)
- Интеграл d{x}:
-
sin(x)^(2)-cos(x)^(2)
- Производная:
- sin(x)^(2)-cos(x)^(2)
-
Идентичные выражения
- sin(x)^(два)-cos(x)^(два)
- синус от (x) в степени (2) минус косинус от (x) в степени (2)
- синус от (x) в степени (два) минус косинус от (x) в степени (два)
- sin(x)(2)-cos(x)(2)
- sinx2-cosx2
- sinx^2-cosx^2
-
Похожие выражения
- 4^((sin(x))^2-(cos(x))^2+2)
- sin(x)^(2)+cos(x)^(2)
- sinx^(2)-cosx^(2)
График функции y = sin(x)^(2)-cos(x)^(2)
Решение
Вы ввели
[src]
2 2 f(x) = sin (x) - cos (x)
$$f{\left(x \right)} = \sin^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}$$
f = sin(x)^2 - cos(x)^2
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\sin^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{4}$$
Численное решение
$$x_{1} = 18.0641577581413$$
$$x_{2} = 10.2101761241668$$
$$x_{3} = 69.9004365423729$$
$$x_{4} = 6876.16092054466$$
$$x_{5} = -93.4623814442964$$
$$x_{6} = -47.9092879672443$$
$$x_{7} = -19.6349540849362$$
$$x_{8} = 5.49778714378214$$
$$x_{9} = 44.7676953136546$$
$$x_{10} = -18.0641577581413$$
$$x_{11} = -55.7632696012188$$
$$x_{12} = 91.8915851175014$$
$$x_{13} = 49.4800842940392$$
$$x_{14} = -46.3384916404494$$
$$x_{15} = 66.7588438887831$$
$$x_{16} = -38.484510006475$$
$$x_{17} = -71.4712328691678$$
$$x_{18} = -63.6172512351933$$
$$x_{19} = -5.49778714378214$$
$$x_{20} = 55.7632696012188$$
$$x_{21} = -10.2101761241668$$
$$x_{22} = 24.3473430653209$$
$$x_{23} = 384.059701901352$$
$$x_{24} = -76.1836218495525$$
$$x_{25} = 90.3207887907066$$
$$x_{26} = 33.7721210260903$$
$$x_{27} = -40.0553063332699$$
$$x_{28} = 60.4756585816035$$
$$x_{29} = 38.484510006475$$
$$x_{30} = -68.329640215578$$
$$x_{31} = 52.621676947629$$
$$x_{32} = 25.9181393921158$$
$$x_{33} = -27.4889357189107$$
$$x_{34} = -41.6261026600648$$
$$x_{35} = 85.6083998103219$$
$$x_{36} = 3.92699081698724$$
$$x_{37} = -3.92699081698724$$
$$x_{38} = 41.6261026600648$$
$$x_{39} = 11.7809724509617$$
$$x_{40} = -77.7544181763474$$
$$x_{41} = -84.037603483527$$
$$x_{42} = 99.7455667514759$$
$$x_{43} = 62.0464549083984$$
$$x_{44} = -69.9004365423729$$
$$x_{45} = 27.4889357189107$$
$$x_{46} = 46.3384916404494$$
$$x_{47} = -54.1924732744239$$
$$x_{48} = -49.4800842940392$$
$$x_{49} = -11.7809724509617$$
$$x_{50} = 96.6039740978861$$
$$x_{51} = -99.7455667514759$$
$$x_{52} = 47.9092879672443$$
$$x_{53} = -35.3429173528852$$
$$x_{54} = -33.7721210260903$$
$$x_{55} = -91.8915851175014$$
$$x_{56} = -13.3517687777566$$
$$x_{57} = 87.1791961371168$$
$$x_{58} = 40.0553063332699$$
$$x_{59} = 30.6305283725005$$
$$x_{60} = -25.9181393921158$$
$$x_{61} = 54.1924732744239$$
$$x_{62} = 162.577419823272$$
$$x_{63} = -57.3340659280137$$
$$x_{64} = 68.329640215578$$
$$x_{65} = 19.6349540849362$$
$$x_{66} = -85.6083998103219$$
$$x_{67} = -16.4933614313464$$
$$x_{68} = 8.63937979737193$$
$$x_{69} = -90.3207887907066$$
$$x_{70} = 22.776546738526$$
$$x_{71} = 82.4668071567321$$
$$x_{72} = -79.3252145031423$$
$$x_{73} = 88.7499924639117$$
$$x_{74} = 2.35619449019234$$
$$x_{75} = 76.1836218495525$$
$$x_{76} = 16.4933614313464$$
$$x_{77} = -2.35619449019234$$
$$x_{78} = 98.174770424681$$
$$x_{79} = -62.0464549083984$$
$$x_{80} = 77.7544181763474$$
$$x_{81} = 63.6172512351933$$
$$x_{82} = -24.3473430653209$$
$$x_{83} = -60.4756585816035$$
$$x_{84} = 32.2013246992954$$
$$x_{85} = 74.6128255227576$$
$$x_{86} = -32.2013246992954$$
$$x_{87} = 84.037603483527$$
$$x_{88} = -98.174770424681$$
$$x_{89} = -82.4668071567321$$
значит надо решить уравнение:
$$\sin^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{4}$$
Численное решение
$$x_{1} = 18.0641577581413$$
$$x_{2} = 10.2101761241668$$
$$x_{3} = 69.9004365423729$$
$$x_{4} = 6876.16092054466$$
$$x_{5} = -93.4623814442964$$
$$x_{6} = -47.9092879672443$$
$$x_{7} = -19.6349540849362$$
$$x_{8} = 5.49778714378214$$
$$x_{9} = 44.7676953136546$$
$$x_{10} = -18.0641577581413$$
$$x_{11} = -55.7632696012188$$
$$x_{12} = 91.8915851175014$$
$$x_{13} = 49.4800842940392$$
$$x_{14} = -46.3384916404494$$
$$x_{15} = 66.7588438887831$$
$$x_{16} = -38.484510006475$$
$$x_{17} = -71.4712328691678$$
$$x_{18} = -63.6172512351933$$
$$x_{19} = -5.49778714378214$$
$$x_{20} = 55.7632696012188$$
$$x_{21} = -10.2101761241668$$
$$x_{22} = 24.3473430653209$$
$$x_{23} = 384.059701901352$$
$$x_{24} = -76.1836218495525$$
$$x_{25} = 90.3207887907066$$
$$x_{26} = 33.7721210260903$$
$$x_{27} = -40.0553063332699$$
$$x_{28} = 60.4756585816035$$
$$x_{29} = 38.484510006475$$
$$x_{30} = -68.329640215578$$
$$x_{31} = 52.621676947629$$
$$x_{32} = 25.9181393921158$$
$$x_{33} = -27.4889357189107$$
$$x_{34} = -41.6261026600648$$
$$x_{35} = 85.6083998103219$$
$$x_{36} = 3.92699081698724$$
$$x_{37} = -3.92699081698724$$
$$x_{38} = 41.6261026600648$$
$$x_{39} = 11.7809724509617$$
$$x_{40} = -77.7544181763474$$
$$x_{41} = -84.037603483527$$
$$x_{42} = 99.7455667514759$$
$$x_{43} = 62.0464549083984$$
$$x_{44} = -69.9004365423729$$
$$x_{45} = 27.4889357189107$$
$$x_{46} = 46.3384916404494$$
$$x_{47} = -54.1924732744239$$
$$x_{48} = -49.4800842940392$$
$$x_{49} = -11.7809724509617$$
$$x_{50} = 96.6039740978861$$
$$x_{51} = -99.7455667514759$$
$$x_{52} = 47.9092879672443$$
$$x_{53} = -35.3429173528852$$
$$x_{54} = -33.7721210260903$$
$$x_{55} = -91.8915851175014$$
$$x_{56} = -13.3517687777566$$
$$x_{57} = 87.1791961371168$$
$$x_{58} = 40.0553063332699$$
$$x_{59} = 30.6305283725005$$
$$x_{60} = -25.9181393921158$$
$$x_{61} = 54.1924732744239$$
$$x_{62} = 162.577419823272$$
$$x_{63} = -57.3340659280137$$
$$x_{64} = 68.329640215578$$
$$x_{65} = 19.6349540849362$$
$$x_{66} = -85.6083998103219$$
$$x_{67} = -16.4933614313464$$
$$x_{68} = 8.63937979737193$$
$$x_{69} = -90.3207887907066$$
$$x_{70} = 22.776546738526$$
$$x_{71} = 82.4668071567321$$
$$x_{72} = -79.3252145031423$$
$$x_{73} = 88.7499924639117$$
$$x_{74} = 2.35619449019234$$
$$x_{75} = 76.1836218495525$$
$$x_{76} = 16.4933614313464$$
$$x_{77} = -2.35619449019234$$
$$x_{78} = 98.174770424681$$
$$x_{79} = -62.0464549083984$$
$$x_{80} = 77.7544181763474$$
$$x_{81} = 63.6172512351933$$
$$x_{82} = -24.3473430653209$$
$$x_{83} = -60.4756585816035$$
$$x_{84} = 32.2013246992954$$
$$x_{85} = 74.6128255227576$$
$$x_{86} = -32.2013246992954$$
$$x_{87} = 84.037603483527$$
$$x_{88} = -98.174770424681$$
$$x_{89} = -82.4668071567321$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$4 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \pi$$
$$x_{4} = \frac{3 \pi}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
Убывает на промежутках
$$\left[0, \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\pi, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$4 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \pi$$
$$x_{4} = \frac{3 \pi}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:
(0, -1)
pi (--, 1) 2
(pi, -1)
3*pi (----, 1) 2
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
Убывает на промежутках
$$\left[0, \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\pi, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right]$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$4 \left(- \sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{4}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[- \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{4}\right] \cup \left[\frac{\pi}{4}, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$4 \left(- \sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{4}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[- \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{4}\right] \cup \left[\frac{\pi}{4}, \infty\right)$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sin^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sin^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sin^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sin^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sin(x)^2 - cos(x)^2, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\sin^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)} = \sin^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}$$
- Да
$$\sin^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)} = - \sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной
Итак, проверяем:
$$\sin^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)} = \sin^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}$$
- Да
$$\sin^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)} = - \sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной
График