Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
-
-3*x^4-4*x^3+24*x^2+48*x+2
-
1/6*x^3-12*x
-
sqrt(8-x)
-
x^2/(x-2)
-
Идентичные выражения
- - три *x^ четыре - четыре *x^ три + двадцать четыре *x^ два + сорок восемь *x+ два
- минус 3 умножить на x в степени 4 минус 4 умножить на x в кубе плюс 24 умножить на x в квадрате плюс 48 умножить на x плюс 2
- минус три умножить на x в степени четыре минус четыре умножить на x в степени три плюс двадцать четыре умножить на x в степени два плюс сорок восемь умножить на x плюс два
- -3*x4-4*x3+24*x2+48*x+2
- -3*x⁴-4*x³+24*x²+48*x+2
- -3*x в степени 4-4*x в степени 3+24*x в степени 2+48*x+2
- -3x^4-4x^3+24x^2+48x+2
- -3x4-4x3+24x2+48x+2
-
Похожие выражения
- -3*x^4+4*x^3+24*x^2+48*x+2
- 3*x^4-4*x^3+24*x^2+48*x+2
- -3*x^4-4*x^3-24*x^2+48*x+2
- -3*x^4-4*x^3+24*x^2+48*x-2
- -3*x^4-4*x^3+24*x^2-48*x+2
График функции y = -3*x^4-4*x^3+24*x^2+48*x+2
Решение
Вы ввели
[src]
4 3 2 f(x) = - 3*x - 4*x + 24*x + 48*x + 2
$$f{\left(x \right)} = - 3 x^{4} - 4 x^{3} + 24 x^{2} + 48 x + 2$$
f = -3*x^4 - 4*x^3 + 24*x^2 + 48*x + 2
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$- 3 x^{4} - 4 x^{3} + 24 x^{2} + 48 x + 2 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = - \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{14 \sqrt{19}}{9} + \frac{82}{9}} - \frac{20}{3 \sqrt[3]{\frac{14 \sqrt{19}}{9} + \frac{82}{9}}} + \frac{560}{27 \sqrt{\frac{20}{3 \sqrt[3]{\frac{14 \sqrt{19}}{9} + \frac{82}{9}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{14 \sqrt{19}}{9} + \frac{82}{9}} + \frac{52}{9}}} + \frac{104}{9}}}{2} + \frac{\sqrt{\frac{20}{3 \sqrt[3]{\frac{14 \sqrt{19}}{9} + \frac{82}{9}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{14 \sqrt{19}}{9} + \frac{82}{9}} + \frac{52}{9}}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{14 \sqrt{19}}{9} + \frac{82}{9}} - \frac{20}{3 \sqrt[3]{\frac{14 \sqrt{19}}{9} + \frac{82}{9}}} + \frac{560}{27 \sqrt{\frac{20}{3 \sqrt[3]{\frac{14 \sqrt{19}}{9} + \frac{82}{9}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{14 \sqrt{19}}{9} + \frac{82}{9}} + \frac{52}{9}}} + \frac{104}{9}}}{2} - \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{\frac{20}{3 \sqrt[3]{\frac{14 \sqrt{19}}{9} + \frac{82}{9}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{14 \sqrt{19}}{9} + \frac{82}{9}} + \frac{52}{9}}}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = -0.0425793968009865$$
$$x_{2} = 3.04439010730403$$
значит надо решить уравнение:
$$- 3 x^{4} - 4 x^{3} + 24 x^{2} + 48 x + 2 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = - \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{14 \sqrt{19}}{9} + \frac{82}{9}} - \frac{20}{3 \sqrt[3]{\frac{14 \sqrt{19}}{9} + \frac{82}{9}}} + \frac{560}{27 \sqrt{\frac{20}{3 \sqrt[3]{\frac{14 \sqrt{19}}{9} + \frac{82}{9}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{14 \sqrt{19}}{9} + \frac{82}{9}} + \frac{52}{9}}} + \frac{104}{9}}}{2} + \frac{\sqrt{\frac{20}{3 \sqrt[3]{\frac{14 \sqrt{19}}{9} + \frac{82}{9}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{14 \sqrt{19}}{9} + \frac{82}{9}} + \frac{52}{9}}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{14 \sqrt{19}}{9} + \frac{82}{9}} - \frac{20}{3 \sqrt[3]{\frac{14 \sqrt{19}}{9} + \frac{82}{9}}} + \frac{560}{27 \sqrt{\frac{20}{3 \sqrt[3]{\frac{14 \sqrt{19}}{9} + \frac{82}{9}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{14 \sqrt{19}}{9} + \frac{82}{9}} + \frac{52}{9}}} + \frac{104}{9}}}{2} - \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{\frac{20}{3 \sqrt[3]{\frac{14 \sqrt{19}}{9} + \frac{82}{9}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{14 \sqrt{19}}{9} + \frac{82}{9}} + \frac{52}{9}}}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = -0.0425793968009865$$
$$x_{2} = 3.04439010730403$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- 12 x^{3} - 12 x^{2} + 48 x + 48 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = -1$$
$$x_{3} = 2$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = -1$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{1} = 2$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, -2\right] \cup \left[-1, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, -1\right] \cup \left[2, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- 12 x^{3} - 12 x^{2} + 48 x + 48 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = -1$$
$$x_{3} = 2$$
Зн. экстремумы в точках:
(-2, -14)
(-1, -21)
(2, 114)
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = -1$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{1} = 2$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, -2\right] \cup \left[-1, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, -1\right] \cup \left[2, \infty\right)$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$12 \left(- 3 x^{2} - 2 x + 4\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{13}}{3}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{13}}{3} - \frac{1}{3}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[- \frac{\sqrt{13}}{3} - \frac{1}{3}, - \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{13}}{3}\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{13}}{3} - \frac{1}{3}\right] \cup \left[- \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{13}}{3}, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$12 \left(- 3 x^{2} - 2 x + 4\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{13}}{3}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{13}}{3} - \frac{1}{3}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[- \frac{\sqrt{13}}{3} - \frac{1}{3}, - \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{13}}{3}\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{13}}{3} - \frac{1}{3}\right] \cup \left[- \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{13}}{3}, \infty\right)$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- 3 x^{4} - 4 x^{3} + 24 x^{2} + 48 x + 2\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(- 3 x^{4} - 4 x^{3} + 24 x^{2} + 48 x + 2\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- 3 x^{4} - 4 x^{3} + 24 x^{2} + 48 x + 2\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(- 3 x^{4} - 4 x^{3} + 24 x^{2} + 48 x + 2\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции -3*x^4 - 4*x^3 + 24*x^2 + 48*x + 2, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- 3 x^{4} - 4 x^{3} + 24 x^{2} + 48 x + 2}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 3 x^{4} - 4 x^{3} + 24 x^{2} + 48 x + 2}{x}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- 3 x^{4} - 4 x^{3} + 24 x^{2} + 48 x + 2}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 3 x^{4} - 4 x^{3} + 24 x^{2} + 48 x + 2}{x}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$- 3 x^{4} - 4 x^{3} + 24 x^{2} + 48 x + 2 = - 3 x^{4} + 4 x^{3} + 24 x^{2} - 48 x + 2$$
- Нет
$$- 3 x^{4} - 4 x^{3} + 24 x^{2} + 48 x + 2 = 3 x^{4} - 4 x^{3} - 24 x^{2} + 48 x - 2$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$- 3 x^{4} - 4 x^{3} + 24 x^{2} + 48 x + 2 = - 3 x^{4} + 4 x^{3} + 24 x^{2} - 48 x + 2$$
- Нет
$$- 3 x^{4} - 4 x^{3} + 24 x^{2} + 48 x + 2 = 3 x^{4} - 4 x^{3} - 24 x^{2} + 48 x - 2$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График