Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
- sqrt(x)-3
-
log(x)^2
-
n^2
- (2*x+1)/(sqrt(x-1))
- Интеграл d{x}:
-
sin(x)^(2)-cos(x)
- Производная:
-
sin(x)^(2)-cos(x)
-
Идентичные выражения
- sin(x)^(два)-cos(x)
- синус от (x) в степени (2) минус косинус от (x)
- синус от (x) в степени (два) минус косинус от (x)
- sin(x)(2)-cos(x)
- sinx2-cosx
- sinx^2-cosx
-
Похожие выражения
- sin(x)^(2)+cos(x)
- 4^((sin(x))^2-(cos(x))^2+2)
- sinx^(2)-cosx
График функции y = sin(x)^(2)-cos(x)
Решение
Вы ввели
[src]
2 f(x) = sin (x) - cos(x)
$$f{\left(x \right)} = \sin^{2}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}$$
f = sin(x)^2 - cos(x)
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\sin^{2}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{-2 + \sqrt{5}} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{-2 + \sqrt{5}} \right)}$$
Численное решение
$$x_{1} = -5.37862841287721$$
$$x_{2} = 51.1700393517391$$
$$x_{3} = -63.7364099660982$$
$$x_{4} = 43.0777402559547$$
$$x_{5} = 68.2104814846731$$
$$x_{6} = 5.37862841287721$$
$$x_{7} = 87.0600374062118$$
$$x_{8} = 7.18774220148197$$
$$x_{9} = 57.4532246589187$$
$$x_{10} = 26.0372981230207$$
$$x_{11} = 17.9449990272364$$
$$x_{12} = 101.435521809176$$
$$x_{13} = -13.4709275086616$$
$$x_{14} = -88.8691511948166$$
$$x_{15} = -1004.40509225443$$
$$x_{16} = -200.157372935444$$
$$x_{17} = -93.3432227133914$$
$$x_{18} = 70.0195952732778$$
$$x_{19} = -26.0372981230207$$
$$x_{20} = 74.4936667918527$$
$$x_{21} = -19.7541128158411$$
$$x_{22} = 2141.66163285394$$
$$x_{23} = 32.3204834302003$$
$$x_{24} = 36.7945549487751$$
$$x_{25} = -80.7768520990322$$
$$x_{26} = 38.6036687373799$$
$$x_{27} = -17.9449990272364$$
$$x_{28} = -68.2104814846731$$
$$x_{29} = 95.1523365019962$$
$$x_{30} = -57.4532246589187$$
$$x_{31} = -30.5113696415956$$
$$x_{32} = -11.6618137200568$$
$$x_{33} = 187.591002321085$$
$$x_{34} = 88.8691511948166$$
$$x_{35} = 82.585965887637$$
$$x_{36} = -82.585965887637$$
$$x_{37} = 13.4709275086616$$
$$x_{38} = 49.3609255631343$$
$$x_{39} = -44.8868540445595$$
$$x_{40} = -99.626408020571$$
$$x_{41} = -61.9272961774935$$
$$x_{42} = -95.1523365019962$$
$$x_{43} = -38.6036687373799$$
$$x_{44} = 24.228184334416$$
$$x_{45} = 44.8868540445595$$
$$x_{46} = -76.3027805804574$$
$$x_{47} = -36.7945549487751$$
$$x_{48} = -0.904556894302381$$
$$x_{49} = 19.7541128158411$$
$$x_{50} = 30.5113696415956$$
$$x_{51} = -74.4936667918527$$
$$x_{52} = 80.7768520990322$$
$$x_{53} = 63.7364099660982$$
$$x_{54} = -139.134633652253$$
$$x_{55} = 61.9272961774935$$
$$x_{56} = -55.6441108703139$$
$$x_{57} = -49.3609255631343$$
$$x_{58} = -32.3204834302003$$
$$x_{59} = 11.6618137200568$$
$$x_{60} = -24.228184334416$$
$$x_{61} = -70.0195952732778$$
$$x_{62} = -7.18774220148197$$
$$x_{63} = 55.6441108703139$$
$$x_{64} = -51.1700393517391$$
$$x_{65} = 99.626408020571$$
$$x_{66} = 76.3027805804574$$
значит надо решить уравнение:
$$\sin^{2}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{-2 + \sqrt{5}} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{-2 + \sqrt{5}} \right)}$$
Численное решение
$$x_{1} = -5.37862841287721$$
$$x_{2} = 51.1700393517391$$
$$x_{3} = -63.7364099660982$$
$$x_{4} = 43.0777402559547$$
$$x_{5} = 68.2104814846731$$
$$x_{6} = 5.37862841287721$$
$$x_{7} = 87.0600374062118$$
$$x_{8} = 7.18774220148197$$
$$x_{9} = 57.4532246589187$$
$$x_{10} = 26.0372981230207$$
$$x_{11} = 17.9449990272364$$
$$x_{12} = 101.435521809176$$
$$x_{13} = -13.4709275086616$$
$$x_{14} = -88.8691511948166$$
$$x_{15} = -1004.40509225443$$
$$x_{16} = -200.157372935444$$
$$x_{17} = -93.3432227133914$$
$$x_{18} = 70.0195952732778$$
$$x_{19} = -26.0372981230207$$
$$x_{20} = 74.4936667918527$$
$$x_{21} = -19.7541128158411$$
$$x_{22} = 2141.66163285394$$
$$x_{23} = 32.3204834302003$$
$$x_{24} = 36.7945549487751$$
$$x_{25} = -80.7768520990322$$
$$x_{26} = 38.6036687373799$$
$$x_{27} = -17.9449990272364$$
$$x_{28} = -68.2104814846731$$
$$x_{29} = 95.1523365019962$$
$$x_{30} = -57.4532246589187$$
$$x_{31} = -30.5113696415956$$
$$x_{32} = -11.6618137200568$$
$$x_{33} = 187.591002321085$$
$$x_{34} = 88.8691511948166$$
$$x_{35} = 82.585965887637$$
$$x_{36} = -82.585965887637$$
$$x_{37} = 13.4709275086616$$
$$x_{38} = 49.3609255631343$$
$$x_{39} = -44.8868540445595$$
$$x_{40} = -99.626408020571$$
$$x_{41} = -61.9272961774935$$
$$x_{42} = -95.1523365019962$$
$$x_{43} = -38.6036687373799$$
$$x_{44} = 24.228184334416$$
$$x_{45} = 44.8868540445595$$
$$x_{46} = -76.3027805804574$$
$$x_{47} = -36.7945549487751$$
$$x_{48} = -0.904556894302381$$
$$x_{49} = 19.7541128158411$$
$$x_{50} = 30.5113696415956$$
$$x_{51} = -74.4936667918527$$
$$x_{52} = 80.7768520990322$$
$$x_{53} = 63.7364099660982$$
$$x_{54} = -139.134633652253$$
$$x_{55} = 61.9272961774935$$
$$x_{56} = -55.6441108703139$$
$$x_{57} = -49.3609255631343$$
$$x_{58} = -32.3204834302003$$
$$x_{59} = 11.6618137200568$$
$$x_{60} = -24.228184334416$$
$$x_{61} = -70.0195952732778$$
$$x_{62} = -7.18774220148197$$
$$x_{63} = 55.6441108703139$$
$$x_{64} = -51.1700393517391$$
$$x_{65} = 99.626408020571$$
$$x_{66} = 76.3027805804574$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{3} = \frac{2 \pi}{3}$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 0$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{1} = \frac{2 \pi}{3}$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{2 \pi}{3}\right] \cup \left[0, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\frac{2 \pi}{3}, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{3} = \frac{2 \pi}{3}$$
Зн. экстремумы в точках:
(0, -1)
-2*pi (------, 5/4) 3
2*pi (----, 5/4) 3
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 0$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{1} = \frac{2 \pi}{3}$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{2 \pi}{3}\right] \cup \left[0, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\frac{2 \pi}{3}, \infty\right)$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$- 2 \sin^{2}{\left(x \right)} + 2 \cos^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{- \sqrt{33} + 6} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{- \sqrt{33} + 6} \right)}$$
$$x_{3} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{\sqrt{33} + 6} \right)}$$
$$x_{4} = 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{\sqrt{33} + 6} \right)}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{\sqrt{33} + 6} \right)}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, - 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{- \sqrt{33} + 6} \right)}\right] \cup \left[2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{- \sqrt{33} + 6} \right)}, 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{\sqrt{33} + 6} \right)}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$- 2 \sin^{2}{\left(x \right)} + 2 \cos^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{- \sqrt{33} + 6} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{- \sqrt{33} + 6} \right)}$$
$$x_{3} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{\sqrt{33} + 6} \right)}$$
$$x_{4} = 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{\sqrt{33} + 6} \right)}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{\sqrt{33} + 6} \right)}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, - 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{- \sqrt{33} + 6} \right)}\right] \cup \left[2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{- \sqrt{33} + 6} \right)}, 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{\sqrt{33} + 6} \right)}\right]$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sin^{2}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle -1, 2\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -1, 2\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sin^{2}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle -1, 2\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -1, 2\right\rangle$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sin^{2}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle -1, 2\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -1, 2\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sin^{2}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle -1, 2\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -1, 2\right\rangle$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sin(x)^2 - cos(x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\sin^{2}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} = \sin^{2}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}$$
- Да
$$\sin^{2}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} = - \sin^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной
Итак, проверяем:
$$\sin^{2}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} = \sin^{2}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}$$
- Да
$$\sin^{2}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} = - \sin^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной
График