Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
-
-9*x^3+3*x^2+9
-
(2-3*x)/x^2
-
x^4-4*x^2+3
- sqrt((9-x^2)*(x^2-4))
-
Идентичные выражения
- sin(x/ три)*cos(два *x/ три)+cos(x/ три)*sin(два *x/ три)
- синус от (x делить на 3) умножить на косинус от (2 умножить на x делить на 3) плюс косинус от (x делить на 3) умножить на синус от (2 умножить на x делить на 3)
- синус от (x делить на три) умножить на косинус от (два умножить на x делить на три) плюс косинус от (x делить на три) умножить на синус от (два умножить на x делить на три)
- sin(x/3)cos(2x/3)+cos(x/3)sin(2x/3)
- sinx/3cos2x/3+cosx/3sin2x/3
- sin(x разделить на 3)*cos(2*x разделить на 3)+cos(x разделить на 3)*sin(2*x разделить на 3)
-
Похожие выражения
- sin(x/3)*cos(2*x/3)-cos(x/3)*sin(2*x/3)
График функции y = sin(x/3)*cos(2*x/3)+cos(x/3)*sin(2*x/3)
Решение
Вы ввели
[src]
/x\ /2*x\ /x\ /2*x\
f(x) = sin|-|*cos|---| + cos|-|*sin|---|
\3/ \ 3 / \3/ \ 3 /
$$f{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{x}{3} \right)} \cos{\left(\frac{2 x}{3} \right)} + \sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)} \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}$$
f = sin(x/3)*cos(2*x/3) + sin(2*x/3)*cos(x/3)
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\sin{\left(\frac{x}{3} \right)} \cos{\left(\frac{2 x}{3} \right)} + \sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)} \cos{\left(\frac{x}{3} \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \pi$$
$$x_{3} = \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi$$
Численное решение
$$x_{1} = -15.707963267949$$
$$x_{2} = 65.9734457253857$$
$$x_{3} = -69.1150383789755$$
$$x_{4} = 3.14159265358979$$
$$x_{5} = 9.42477796076938$$
$$x_{6} = -43.9822971502571$$
$$x_{7} = 91.106186954104$$
$$x_{8} = 6.28318530717959$$
$$x_{9} = 81.6814089933346$$
$$x_{10} = -28.2743338823081$$
$$x_{11} = -75.398223686155$$
$$x_{12} = -31.4159265358979$$
$$x_{13} = 15.707963267949$$
$$x_{14} = 62.8318530717959$$
$$x_{15} = 72.2566310325652$$
$$x_{16} = -12.5663706143592$$
$$x_{17} = -56.5486677646163$$
$$x_{18} = 37.6991118430775$$
$$x_{19} = -50.2654824574367$$
$$x_{20} = -18.8495559215388$$
$$x_{21} = 31.4159265358979$$
$$x_{22} = -97.3893722612836$$
$$x_{23} = -65.9734457253857$$
$$x_{24} = 18.8495559215388$$
$$x_{25} = 97.3893722612836$$
$$x_{26} = -267.035375555132$$
$$x_{27} = 40.8407044966673$$
$$x_{28} = -113.097335529233$$
$$x_{29} = -3.14159265358979$$
$$x_{30} = 75.398223686155$$
$$x_{31} = 21.9911485751286$$
$$x_{32} = -9.42477796076938$$
$$x_{33} = -84.8230016469244$$
$$x_{34} = -59.6902604182061$$
$$x_{35} = 56.5486677646163$$
$$x_{36} = -53.4070751110265$$
$$x_{37} = -94.2477796076938$$
$$x_{38} = -81.6814089933346$$
$$x_{39} = 25.1327412287183$$
$$x_{40} = 53.4070751110265$$
$$x_{41} = 94.2477796076938$$
$$x_{42} = 28.2743338823081$$
$$x_{43} = -47.1238898038469$$
$$x_{44} = -62.8318530717959$$
$$x_{45} = -34.5575191894877$$
$$x_{46} = -25.1327412287183$$
$$x_{47} = 84.8230016469244$$
$$x_{48} = 100.530964914873$$
$$x_{49} = 87.9645943005142$$
$$x_{50} = 34.5575191894877$$
$$x_{51} = -37.6991118430775$$
$$x_{52} = -232.477856365645$$
$$x_{53} = 59.6902604182061$$
$$x_{54} = -6.28318530717959$$
$$x_{55} = 0$$
$$x_{56} = -78.5398163397448$$
$$x_{57} = 43.9822971502571$$
$$x_{58} = -21.9911485751286$$
$$x_{59} = 50.2654824574367$$
$$x_{60} = 69.1150383789755$$
$$x_{61} = -91.106186954104$$
$$x_{62} = -87.9645943005142$$
$$x_{63} = -40.8407044966673$$
$$x_{64} = -72.2566310325652$$
$$x_{65} = -100.530964914873$$
$$x_{66} = 78.5398163397448$$
$$x_{67} = 12.5663706143592$$
$$x_{68} = 47.1238898038469$$
значит надо решить уравнение:
$$\sin{\left(\frac{x}{3} \right)} \cos{\left(\frac{2 x}{3} \right)} + \sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)} \cos{\left(\frac{x}{3} \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \pi$$
$$x_{3} = \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi$$
Численное решение
$$x_{1} = -15.707963267949$$
$$x_{2} = 65.9734457253857$$
$$x_{3} = -69.1150383789755$$
$$x_{4} = 3.14159265358979$$
$$x_{5} = 9.42477796076938$$
$$x_{6} = -43.9822971502571$$
$$x_{7} = 91.106186954104$$
$$x_{8} = 6.28318530717959$$
$$x_{9} = 81.6814089933346$$
$$x_{10} = -28.2743338823081$$
$$x_{11} = -75.398223686155$$
$$x_{12} = -31.4159265358979$$
$$x_{13} = 15.707963267949$$
$$x_{14} = 62.8318530717959$$
$$x_{15} = 72.2566310325652$$
$$x_{16} = -12.5663706143592$$
$$x_{17} = -56.5486677646163$$
$$x_{18} = 37.6991118430775$$
$$x_{19} = -50.2654824574367$$
$$x_{20} = -18.8495559215388$$
$$x_{21} = 31.4159265358979$$
$$x_{22} = -97.3893722612836$$
$$x_{23} = -65.9734457253857$$
$$x_{24} = 18.8495559215388$$
$$x_{25} = 97.3893722612836$$
$$x_{26} = -267.035375555132$$
$$x_{27} = 40.8407044966673$$
$$x_{28} = -113.097335529233$$
$$x_{29} = -3.14159265358979$$
$$x_{30} = 75.398223686155$$
$$x_{31} = 21.9911485751286$$
$$x_{32} = -9.42477796076938$$
$$x_{33} = -84.8230016469244$$
$$x_{34} = -59.6902604182061$$
$$x_{35} = 56.5486677646163$$
$$x_{36} = -53.4070751110265$$
$$x_{37} = -94.2477796076938$$
$$x_{38} = -81.6814089933346$$
$$x_{39} = 25.1327412287183$$
$$x_{40} = 53.4070751110265$$
$$x_{41} = 94.2477796076938$$
$$x_{42} = 28.2743338823081$$
$$x_{43} = -47.1238898038469$$
$$x_{44} = -62.8318530717959$$
$$x_{45} = -34.5575191894877$$
$$x_{46} = -25.1327412287183$$
$$x_{47} = 84.8230016469244$$
$$x_{48} = 100.530964914873$$
$$x_{49} = 87.9645943005142$$
$$x_{50} = 34.5575191894877$$
$$x_{51} = -37.6991118430775$$
$$x_{52} = -232.477856365645$$
$$x_{53} = 59.6902604182061$$
$$x_{54} = -6.28318530717959$$
$$x_{55} = 0$$
$$x_{56} = -78.5398163397448$$
$$x_{57} = 43.9822971502571$$
$$x_{58} = -21.9911485751286$$
$$x_{59} = 50.2654824574367$$
$$x_{60} = 69.1150383789755$$
$$x_{61} = -91.106186954104$$
$$x_{62} = -87.9645943005142$$
$$x_{63} = -40.8407044966673$$
$$x_{64} = -72.2566310325652$$
$$x_{65} = -100.530964914873$$
$$x_{66} = 78.5398163397448$$
$$x_{67} = 12.5663706143592$$
$$x_{68} = 47.1238898038469$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \sin{\left(\frac{x}{3} \right)} \sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)} + \cos{\left(\frac{x}{3} \right)} \cos{\left(\frac{2 x}{3} \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{3 \pi}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{4} = \frac{3 \pi}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = - \frac{3 \pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
Убывает на промежутках
$$\left[\frac{3 \pi}{2}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \sin{\left(\frac{x}{3} \right)} \sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)} + \cos{\left(\frac{x}{3} \right)} \cos{\left(\frac{2 x}{3} \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{3 \pi}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{4} = \frac{3 \pi}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:
-3*pi (------, 1) 2
-pi (----, -1) 2
pi (--, 1) 2
3*pi (----, -1) 2
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = - \frac{3 \pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
Убывает на промежутках
$$\left[\frac{3 \pi}{2}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right]$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$- (\sin{\left(\frac{x}{3} \right)} \cos{\left(\frac{2 x}{3} \right)} + \sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)} \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \pi$$
$$x_{3} = \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[- \pi, 0\right] \cup \left[\pi, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, - \pi\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$- (\sin{\left(\frac{x}{3} \right)} \cos{\left(\frac{2 x}{3} \right)} + \sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)} \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \pi$$
$$x_{3} = \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[- \pi, 0\right] \cup \left[\pi, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, - \pi\right]$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sin{\left(\frac{x}{3} \right)} \cos{\left(\frac{2 x}{3} \right)} + \sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)} \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}\right) = \left\langle -2, 2\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -2, 2\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sin{\left(\frac{x}{3} \right)} \cos{\left(\frac{2 x}{3} \right)} + \sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)} \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}\right) = \left\langle -2, 2\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -2, 2\right\rangle$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sin{\left(\frac{x}{3} \right)} \cos{\left(\frac{2 x}{3} \right)} + \sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)} \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}\right) = \left\langle -2, 2\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -2, 2\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sin{\left(\frac{x}{3} \right)} \cos{\left(\frac{2 x}{3} \right)} + \sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)} \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}\right) = \left\langle -2, 2\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -2, 2\right\rangle$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sin(x/3)*cos(2*x/3) + cos(x/3)*sin(2*x/3), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(\frac{x}{3} \right)} \cos{\left(\frac{2 x}{3} \right)} + \sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)} \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(\frac{x}{3} \right)} \cos{\left(\frac{2 x}{3} \right)} + \sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)} \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(\frac{x}{3} \right)} \cos{\left(\frac{2 x}{3} \right)} + \sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)} \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(\frac{x}{3} \right)} \cos{\left(\frac{2 x}{3} \right)} + \sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)} \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\sin{\left(\frac{x}{3} \right)} \cos{\left(\frac{2 x}{3} \right)} + \sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)} \cos{\left(\frac{x}{3} \right)} = - \sin{\left(\frac{x}{3} \right)} \cos{\left(\frac{2 x}{3} \right)} - \sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)} \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}$$
- Нет
$$\sin{\left(\frac{x}{3} \right)} \cos{\left(\frac{2 x}{3} \right)} + \sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)} \cos{\left(\frac{x}{3} \right)} = \sin{\left(\frac{x}{3} \right)} \cos{\left(\frac{2 x}{3} \right)} + \sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)} \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$\sin{\left(\frac{x}{3} \right)} \cos{\left(\frac{2 x}{3} \right)} + \sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)} \cos{\left(\frac{x}{3} \right)} = - \sin{\left(\frac{x}{3} \right)} \cos{\left(\frac{2 x}{3} \right)} - \sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)} \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}$$
- Нет
$$\sin{\left(\frac{x}{3} \right)} \cos{\left(\frac{2 x}{3} \right)} + \sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)} \cos{\left(\frac{x}{3} \right)} = \sin{\left(\frac{x}{3} \right)} \cos{\left(\frac{2 x}{3} \right)} + \sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)} \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График