График функции y = sin(log(x))

Вы ввели [src]

f(x) = sin(log(x))

$$f{\left(x \right)} = \sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)}$$

f = sin(log(x))

График функции

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = e^{\pi}$$
Численное решение
$$x_{1} = 535.491655524765$$
$$x_{2} = 23.1406926327793$$
$$x_{3} = 1$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в sin(log(x)).
$$\sin{\left(\log{\left(0 \right)} \right)}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = \text{NaN}$$
- решений у уравнения нет

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{\cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = e^{\frac{\pi}{2}}$$
$$x_{2} = e^{\frac{3 \pi}{2}}$$
Зн. экстремумы в точках:

  pi    
  --    
  2     
(e , 1)

  3*pi     
  ----     
   2       
(e   , -1)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = e^{\frac{\pi}{2}}$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, e^{\frac{\pi}{2}}\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left[e^{\frac{\pi}{2}}, \infty\right)$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$- \frac{\sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)} + \cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = e^{- \frac{\pi}{4}}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, e^{- \frac{\pi}{4}}\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[e^{- \frac{\pi}{4}}, \infty\right)$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty} \sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sin(log(x)), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)} = \sin{\left(\log{\left(- x \right)} \right)}$$
- Нет
$$\sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)} = - \sin{\left(\log{\left(- x \right)} \right)}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

График функции y = sin(log(x))

График:

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

Решение