Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
-
6*x^4-4*x^6
- log(1)/2*(x+2)
-
x^2-5*(|x|)+6
-
x^2-8*x+14
- Производная:
-
6*x^4-4*x^6
-
Идентичные выражения
- шесть *x^ четыре - четыре *x^ шесть
- 6 умножить на x в степени 4 минус 4 умножить на x в степени 6
- шесть умножить на x в степени четыре минус четыре умножить на x в степени шесть
- 6*x4-4*x6
- 6*x⁴-4*x⁶
- 6x^4-4x^6
- 6x4-4x6
-
Похожие выражения
- 6*x^4+4*x^6
График функции y = 6*x^4-4*x^6
Решение
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$- 4 x^{6} + 6 x^{4} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{6}}{2}$$
$$x_{3} = \frac{\sqrt{6}}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = 1.22474487139159$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = -1.22474487139159$$
значит надо решить уравнение:
$$- 4 x^{6} + 6 x^{4} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{6}}{2}$$
$$x_{3} = \frac{\sqrt{6}}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = 1.22474487139159$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = -1.22474487139159$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- 24 x^{5} + 24 x^{3} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 1$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 0$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{1} = 1$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, -1\right] \cup \left[0, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[1, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- 24 x^{5} + 24 x^{3} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 1$$
Зн. экстремумы в точках:
(-1, 2)
(0, 0)
(1, 2)
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 0$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{1} = 1$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, -1\right] \cup \left[0, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[1, \infty\right)$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$24 x^{2} \cdot \left(- 5 x^{2} + 3\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{15}}{5}$$
$$x_{3} = \frac{\sqrt{15}}{5}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[- \frac{\sqrt{15}}{5}, \frac{\sqrt{15}}{5}\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{15}}{5}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{15}}{5}, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$24 x^{2} \cdot \left(- 5 x^{2} + 3\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{15}}{5}$$
$$x_{3} = \frac{\sqrt{15}}{5}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[- \frac{\sqrt{15}}{5}, \frac{\sqrt{15}}{5}\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{15}}{5}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{15}}{5}, \infty\right)$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- 4 x^{6} + 6 x^{4}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(- 4 x^{6} + 6 x^{4}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- 4 x^{6} + 6 x^{4}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(- 4 x^{6} + 6 x^{4}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 6*x^4 - 4*x^6, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- 4 x^{6} + 6 x^{4}}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 4 x^{6} + 6 x^{4}}{x}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- 4 x^{6} + 6 x^{4}}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 4 x^{6} + 6 x^{4}}{x}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$- 4 x^{6} + 6 x^{4} = - 4 x^{6} + 6 x^{4}$$
- Да
$$- 4 x^{6} + 6 x^{4} = 4 x^{6} - 6 x^{4}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной
Итак, проверяем:
$$- 4 x^{6} + 6 x^{4} = - 4 x^{6} + 6 x^{4}$$
- Да
$$- 4 x^{6} + 6 x^{4} = 4 x^{6} - 6 x^{4}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной
График