Господин Экзамен

Другие калькуляторы

(1+x^2)/(1+x)

  • Как пользоваться?

  • График функции y =:
  • 1-x^2 1-x^2
  • ((x-1)^2)/x^2 ((x-1)^2)/x^2
  • 1/(sin(x)+cos(x))
  • (|x-1|)
  • Предел функции:
  • (1+x^2)/(1+x) (1+x^2)/(1+x)
  • Производная:
  • (1+x^2)/(1+x)

  • Идентичные выражения

  • (один +x^ два)/(один +x)
  • (1 плюс x в квадрате ) делить на (1 плюс x)
  • (один плюс x в степени два) делить на (один плюс x)
  • (1+x2)/(1+x)
  • 1+x2/1+x
  • (1+x²)/(1+x)
  • (1+x в степени 2)/(1+x)
  • 1+x^2/1+x
  • (1+x^2) разделить на (1+x)

  • Похожие выражения

  • (1+x^2)/(1+x^4)
  • (1+x^2)/(1-x)
  • (1-x^2)/(1+x)
Построение графика функции/ (1+x^2)/(1+x)

График функции y = (1+x^2)/(1+x)

v

График:

от до

Точки пересечения:

показывать?

Кусочно-заданная:

Решение

Вы ввели [src] 
            2
       1 + x 
f(x) = ------
       1 + x
$$f{\left(x \right)} = \frac{x^{2} + 1}{x + 1}$$ 
f = (x^2 + 1)/(x + 1)
График функции
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = -1$$
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x^{2} + 1}{x + 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (1 + x^2)/(1 + x).
$$\frac{0^{2} + 1}{0 + 1}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 1$$
Точка:
(0, 1)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{2 x}{x + 1} - \frac{x^{2} + 1}{\left(x + 1\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = -1 + \sqrt{2}$$
$$x_{2} = - \sqrt{2} - 1$$
Зн. экстремумы в точках:
                   /            2    \ 
               ___ |/       ___\     | 
        ___  \/ 2 *\\-1 + \/ 2 /  + 1/ 
(-1 + \/ 2, -------------------------)
                         2             

                     /                 2\  
                 ___ |    /    ___    \ |  
     ___      -\/ 2 *\1 + \- \/ 2  - 1/ /  
(- \/ 2  - 1, ----------------------------)
                           2


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = -1 + \sqrt{2}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \sqrt{2} - 1$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, - \sqrt{2} - 1\right] \cup \left[-1 + \sqrt{2}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[- \sqrt{2} - 1, -1 + \sqrt{2}\right]$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{2 \left(- \frac{2 x}{x + 1} + 1 + \frac{x^{2} + 1}{\left(x + 1\right)^{2}}\right)}{x + 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
Вертикальные асимптоты
Есть:
$$x_{1} = -1$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} + 1}{x + 1}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 1}{x + 1}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (1 + x^2)/(1 + x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} + 1}{x \left(x + 1\right)}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 1}{x \left(x + 1\right)}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x$$
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x^{2} + 1}{x + 1} = \frac{x^{2} + 1}{- x + 1}$$
- Нет
$$\frac{x^{2} + 1}{x + 1} = - \frac{x^{2} + 1}{- x + 1}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График
График функции y = (1+x^2)/(1+x)
    © Господин Экзамен – Калькулятор