Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
-
2*x^3-3*x^2-12*x+8
-
-9*x^3+3*x^2+9
-
6*x+15
-
-8*x^3-12*x^2+2
- Производная:
- (log(x)^2)/x
-
Идентичные выражения
- (log(x)^ два)/x
- ( логарифм от (x) в квадрате ) делить на x
- ( логарифм от (x) в степени два) делить на x
- (log(x)2)/x
- logx2/x
- (log(x)²)/x
- (log(x) в степени 2)/x
- logx^2/x
- (log(x)^2) разделить на x
-
Похожие выражения
- log(x)^(2)/x
- log(x)^2/x
- (log(x)^(2))/x
- log((x^2)/((x+1)*(x-3)))
График функции y = (log(x)^2)/x
Решение
Вы ввели
[src]
2
log (x)
f(x) = -------
x
$$f{\left(x \right)} = \frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{x}$$
f = log(x)^2/x
График функции
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{x} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 1$$
Численное решение
$$x_{1} = 0.999999547588233$$
значит надо решить уравнение:
$$\frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{x} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 1$$
Численное решение
$$x_{1} = 0.999999547588233$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{x^{2}} + \frac{2 \log{\left(x \right)}}{x^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = e^{2}$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 1$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = e^{2}$$
Убывает на промежутках
$$\left[1, e^{2}\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, 1\right] \cup \left[e^{2}, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{x^{2}} + \frac{2 \log{\left(x \right)}}{x^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = e^{2}$$
Зн. экстремумы в точках:
(1, 0)
2 -2 (e, 4*e )
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 1$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = e^{2}$$
Убывает на промежутках
$$\left[1, e^{2}\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, 1\right] \cup \left[e^{2}, \infty\right)$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{2 \left(\log{\left(x \right)}^{2} - 3 \log{\left(x \right)} + 1\right)}{x^{3}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = e^{- \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2}}$$
$$x_{2} = e^{\frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2}}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{2 \left(\log{\left(x \right)}^{2} - 3 \log{\left(x \right)} + 1\right)}{x^{3}}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \left(\log{\left(x \right)}^{2} - 3 \log{\left(x \right)} + 1\right)}{x^{3}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = 0$$
- является точкой перегиба
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, e^{- \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2}}\right] \cup \left[e^{\frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2}}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[e^{- \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2}}, e^{\frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2}}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{2 \left(\log{\left(x \right)}^{2} - 3 \log{\left(x \right)} + 1\right)}{x^{3}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = e^{- \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2}}$$
$$x_{2} = e^{\frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2}}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{2 \left(\log{\left(x \right)}^{2} - 3 \log{\left(x \right)} + 1\right)}{x^{3}}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \left(\log{\left(x \right)}^{2} - 3 \log{\left(x \right)} + 1\right)}{x^{3}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = 0$$
- является точкой перегиба
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, e^{- \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2}}\right] \cup \left[e^{\frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2}}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[e^{- \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2}}, e^{\frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2}}\right]$$
Вертикальные асимптоты
Есть:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции log(x)^2/x, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{x^{2}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{x^{2}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{x^{2}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{x^{2}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{x} = - \frac{\log{\left(- x \right)}^{2}}{x}$$
- Нет
$$\frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{x} = \frac{\log{\left(- x \right)}^{2}}{x}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$\frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{x} = - \frac{\log{\left(- x \right)}^{2}}{x}$$
- Нет
$$\frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{x} = \frac{\log{\left(- x \right)}^{2}}{x}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График