Господин Экзамен

Другие калькуляторы

1/(x^2+x+1)

  • Как пользоваться?

  • График функции y =:
  • x^2+1/(x^2) x^2+1/(x^2)
  • (|x|)
  • (x^2+1)/(x-1) (x^2+1)/(x-1)
  • atan(1/x)
  • Интеграл d{x}:
  • 1/(x^2+x+1) 1/(x^2+x+1)
  • Производная:
  • 1/(x^2+x+1) 1/(x^2+x+1)

  • Идентичные выражения

  • один /(x^ два +x+ один)
  • 1 делить на (x в квадрате плюс x плюс 1)
  • один делить на (x в степени два плюс x плюс один)
  • 1/(x2+x+1)
  • 1/x2+x+1
  • 1/(x²+x+1)
  • 1/(x в степени 2+x+1)
  • 1/x^2+x+1
  • 1 разделить на (x^2+x+1)

  • Похожие выражения

  • 1/(x^2-x+1)
  • 1/(x^2+x-1)
Построение графика функции/ 1/(x^2+x+1)

График функции y = 1/(x^2+x+1)

v

График:

от до

Точки пересечения:

показывать?

Кусочно-заданная:

Решение

Вы ввели [src] 
             1     
f(x) = 1*----------
          2        
         x  + x + 1
$$f{\left(x \right)} = 1 \cdot \frac{1}{x^{2} + x + 1}$$ 
f = 1/(x^2 + x + 1)
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$1 \cdot \frac{1}{x^{2} + x + 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 1/(x^2 + x + 1).
$$1 \cdot \frac{1}{0^{2} + 0 + 1}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 1$$
Точка:
(0, 1)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{- 2 x - 1}{\left(x^{2} + x + 1\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{1}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:
(-1/2, 4/3)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \frac{1}{2}$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{1}{2}\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left[- \frac{1}{2}, \infty\right)$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{2 \left(\frac{\left(2 x + 1\right)^{2}}{x^{2} + x + 1} - 1\right)}{\left(x^{2} + x + 1\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 0$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, -1\right] \cup \left[0, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[-1, 0\right]$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(1 \cdot \frac{1}{x^{2} + x + 1}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(1 \cdot \frac{1}{x^{2} + x + 1}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 1/(x^2 + x + 1), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x \left(x^{2} + x + 1\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x \left(x^{2} + x + 1\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$1 \cdot \frac{1}{x^{2} + x + 1} = \frac{1}{x^{2} - x + 1}$$
- Нет
$$1 \cdot \frac{1}{x^{2} + x + 1} = - \frac{1}{x^{2} - x + 1}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График
График функции y = 1/(x^2+x+1)
    © Господин Экзамен – Калькулятор