График функции y = ((x^2)+1)/(x-1)

Вы ввели [src]

        2    
       x  + 1
f(x) = ------
       x - 1

$$f{\left(x \right)} = \frac{x^{2} + 1}{x - 1}$$

f = (x^2 + 1)/(x - 1*1)

График функции

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 1$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x^{2} + 1}{x - 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (x^2 + 1)/(x - 1*1).
$$\frac{0^{2} + 1}{\left(-1\right) 1 + 0}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = -1$$
Точка:

(0, -1)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{2 x}{x - 1} - \frac{x^{2} + 1}{\left(x - 1\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \sqrt{2} + 1$$
$$x_{2} = 1 + \sqrt{2}$$
Зн. экстремумы в точках:

                           2     
              /    ___    \      
     ___      \- \/ 2  + 1/  + 1 
(- \/ 2  + 1, ------------------)
                   ___           
               - \/ 2  - 1 + 1

                           2 
                /      ___\  
       ___  1 + \1 + \/ 2 /  
(1 + \/ 2, ----------------)
                        ___  
             -1 + 1 + \/ 2

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 1 + \sqrt{2}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \sqrt{2} + 1$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, - \sqrt{2} + 1\right] \cup \left[1 + \sqrt{2}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[- \sqrt{2} + 1, 1 + \sqrt{2}\right]$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{2 \left(- \frac{2 x}{x - 1} + 1 + \frac{x^{2} + 1}{\left(x - 1\right)^{2}}\right)}{x - 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = 1$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} + 1}{x - 1}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 1}{x - 1}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x^2 + 1)/(x - 1*1), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} + 1}{x \left(x - 1\right)}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 1}{x \left(x - 1\right)}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x^{2} + 1}{x - 1} = \frac{x^{2} + 1}{- x - 1}$$
- Нет
$$\frac{x^{2} + 1}{x - 1} = - \frac{x^{2} + 1}{- x - 1}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

График функции y = ((x^2)+1)/(x-1)

График:

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

Решение