Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная$$3 x^{2} + \frac{64}{x^{3}} = 0$$
Решаем это уравнениеКорни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{2 \cdot \sqrt[5]{2} \cdot 3^{\frac{4}{5}}}{3}$$
Зн. экстремумы в точках:
5 ___ 4/5 3/5 2/5
-2*\/ 2 *3 -20*2 *3
(--------------, --------------)
3 3
Интервалы возрастания и убывания функции:Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \frac{2 \cdot \sqrt[5]{2} \cdot 3^{\frac{4}{5}}}{3}$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{2 \cdot \sqrt[5]{2} \cdot 3^{\frac{4}{5}}}{3}\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left[- \frac{2 \cdot \sqrt[5]{2} \cdot 3^{\frac{4}{5}}}{3}, \infty\right)$$