График функции y = log((x+6)/x)-1

Вы ввели [src]

          /x + 6\    
f(x) = log|-----| - 1
          \  x  /

$$f{\left(x \right)} = \log{\left(\frac{x + 6}{x} \right)} - 1$$

f = log((x + 6)/x) - 1*1

График функции

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\log{\left(\frac{x + 6}{x} \right)} - 1 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{6}{-1 + e}$$
Численное решение
$$x_{1} = 3.49186024121596$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в log((x + 6)/x) - 1*1.
$$\left(-1\right) 1 + \log{\left(\frac{0 + 6}{0} \right)}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}$$
зн.f не пересекает Y

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{x \left(\frac{1}{x} - \frac{x + 6}{x^{2}}\right)}{x + 6} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{\left(1 - \frac{x + 6}{x}\right) \left(- \frac{1}{x + 6} - \frac{1}{x}\right)}{x + 6} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = -3$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 0$$

$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\left(1 - \frac{x + 6}{x}\right) \left(- \frac{1}{x + 6} - \frac{1}{x}\right)}{x + 6}\right) = \infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(1 - \frac{x + 6}{x}\right) \left(- \frac{1}{x + 6} - \frac{1}{x}\right)}{x + 6}\right) = \infty$$
Возьмём предел
- пределы равны, зн. пропускаем соответствующую точку

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[-3, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, -3\right]$$

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = 0$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\log{\left(\frac{x + 6}{x} \right)} - 1\right) = -1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = -1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\log{\left(\frac{x + 6}{x} \right)} - 1\right) = -1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = -1$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции log((x + 6)/x) - 1*1, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(\frac{x + 6}{x} \right)} - 1}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(\frac{x + 6}{x} \right)} - 1}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\log{\left(\frac{x + 6}{x} \right)} - 1 = \log{\left(- \frac{- x + 6}{x} \right)} - 1$$
- Нет
$$\log{\left(\frac{x + 6}{x} \right)} - 1 = - \log{\left(- \frac{- x + 6}{x} \right)} + 1$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

График функции y = log((x+6)/x)-1

График:

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

Решение