Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
-
-3*x^4-4*x^3+24*x^2+48*x+2
-
1/6*x^3-12*x
-
sqrt(8-x)
-
x^2/(x-2)
-
Идентичные выражения
- log((x- пять)/x+ два)
- логарифм от ((x минус 5) делить на x плюс 2)
- логарифм от ((x минус пять) делить на x плюс два)
- logx-5/x+2
- log((x-5) разделить на x+2)
-
Похожие выражения
- log((x+5)/x+2)
- log((x-5)/x-2)
-
Что Вы имели ввиду?
- log((x - 1*5)/(x + 2))
- log((x - 1*5)/x + 2)
- log(x - 5/(x + 2))
- log(x - 5/x + 2)
- log(x - 5/x + 2)
Вы ввели:
log((x-5)/x+2)
Что Вы имели ввиду?
График функции y = log((x-5)/x+2)
Решение
Вы ввели
[src]
/x - 5 \
f(x) = log|----- + 2|
\ x /
$$f{\left(x \right)} = \log{\left(2 + \frac{x - 5}{x} \right)}$$
f = log(2 + (x - 1*5)/x)
График функции
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\log{\left(2 + \frac{x - 5}{x} \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{5}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = 2.5$$
значит надо решить уравнение:
$$\log{\left(2 + \frac{x - 5}{x} \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{5}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = 2.5$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{\frac{1}{x} - \frac{x - 5}{x^{2}}}{2 + \frac{x - 5}{x}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{\frac{1}{x} - \frac{x - 5}{x^{2}}}{2 + \frac{x - 5}{x}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$- \frac{\left(1 - \frac{x - 5}{x}\right) \left(\frac{1 - \frac{x - 5}{x}}{2 + \frac{x - 5}{x}} + 2\right)}{x^{2} \cdot \left(2 + \frac{x - 5}{x}\right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = \frac{5}{6}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(- \frac{\left(1 - \frac{x - 5}{x}\right) \left(\frac{1 - \frac{x - 5}{x}}{2 + \frac{x - 5}{x}} + 2\right)}{x^{2} \cdot \left(2 + \frac{x - 5}{x}\right)}\right) = \infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{\left(1 - \frac{x - 5}{x}\right) \left(\frac{1 - \frac{x - 5}{x}}{2 + \frac{x - 5}{x}} + 2\right)}{x^{2} \cdot \left(2 + \frac{x - 5}{x}\right)}\right) = \infty$$
Возьмём предел
- пределы равны, зн. пропускаем соответствующую точку
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{5}{6}\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[\frac{5}{6}, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$- \frac{\left(1 - \frac{x - 5}{x}\right) \left(\frac{1 - \frac{x - 5}{x}}{2 + \frac{x - 5}{x}} + 2\right)}{x^{2} \cdot \left(2 + \frac{x - 5}{x}\right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = \frac{5}{6}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(- \frac{\left(1 - \frac{x - 5}{x}\right) \left(\frac{1 - \frac{x - 5}{x}}{2 + \frac{x - 5}{x}} + 2\right)}{x^{2} \cdot \left(2 + \frac{x - 5}{x}\right)}\right) = \infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{\left(1 - \frac{x - 5}{x}\right) \left(\frac{1 - \frac{x - 5}{x}}{2 + \frac{x - 5}{x}} + 2\right)}{x^{2} \cdot \left(2 + \frac{x - 5}{x}\right)}\right) = \infty$$
Возьмём предел
- пределы равны, зн. пропускаем соответствующую точку
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{5}{6}\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[\frac{5}{6}, \infty\right)$$
Вертикальные асимптоты
Есть:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \log{\left(2 + \frac{x - 5}{x} \right)} = \log{\left(3 \right)}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \log{\left(3 \right)}$$
$$\lim_{x \to \infty} \log{\left(2 + \frac{x - 5}{x} \right)} = \log{\left(3 \right)}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \log{\left(3 \right)}$$
$$\lim_{x \to -\infty} \log{\left(2 + \frac{x - 5}{x} \right)} = \log{\left(3 \right)}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \log{\left(3 \right)}$$
$$\lim_{x \to \infty} \log{\left(2 + \frac{x - 5}{x} \right)} = \log{\left(3 \right)}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \log{\left(3 \right)}$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции log((x - 1*5)/x + 2), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(2 + \frac{x - 5}{x} \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(2 + \frac{x - 5}{x} \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(2 + \frac{x - 5}{x} \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(2 + \frac{x - 5}{x} \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\log{\left(2 + \frac{x - 5}{x} \right)} = \log{\left(2 - \frac{- x - 5}{x} \right)}$$
- Нет
$$\log{\left(2 + \frac{x - 5}{x} \right)} = - \log{\left(2 - \frac{- x - 5}{x} \right)}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$\log{\left(2 + \frac{x - 5}{x} \right)} = \log{\left(2 - \frac{- x - 5}{x} \right)}$$
- Нет
$$\log{\left(2 + \frac{x - 5}{x} \right)} = - \log{\left(2 - \frac{- x - 5}{x} \right)}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График